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Suite d’homotopie d’un espace fibré

Groupes d’homotopie relatifs

La définition des groupes d’homotopie d’un espace topologique a été faite ici.
Nous allons considérer ici une paire $(A,X)$ d’espaces topologiques, avec $A \subset X$. Ayant choisi un point base $x_0 \in A$, l’inclusion de $i: (A,x_0) \to (X,x_0)$ induit une application au niveau des groupes d’homotopie $i_*: \pi_n(A) \to \pi_n(X)$. L’injectivité, ou la surjectivité de cette application est codée par d’autres groupes, appelés groupes d’homotopie relatifs, que nous décrivons brièvement.

Pour tout $n \geq 1$, nous considérons le cube $I_n=[0,1]\times \ldots \times [0,1]$ (produit $n$ fois), et nous identifions le cube $I_{n-1}$ avec la face de $I_n$ donnée par $s_n=0$. On appelle $\Sigma_{n-1}$ la réunion de toutes les autres faces de $I_n$ (autrement dit, l’adhérence de $\partial I_n \setminus I_{n-1}$). On va appeler $\Pi_n(X,A,x_0)$ l’ensemble des applications continues $(I_n, \partial I_n, \Sigma_{n-1}) \to (X,A,x_0)$, i.e les applications de $I_n \to X$ qui envoient $\partial I_n$ dans $A$ et $\Sigma_{n-1}$ sur $x_0$. Par $\pi_n(X,A,x_0)$, on désigne les classes d’homotopie d’éléments de $\Pi_n(X,A,x_0)$ (les homotopies étant astreintes à être dans $\Pi_n(X,A,x_0)$).

Pour $n \geq 2$, on définit une loi de composition naturelle, qui à deux éléments $f$ et $g$ de $\Pi_n(X,A,x_0)$, associe $f*g \in \Pi_n(X,A,x_0)$ défini par

$$ f *g(s_1,s_2,\ldots,s_n)= \left\{ \begin{array}{ll} f(2s_1,\ldots,s_{n-1}, s_n) &\text{ si } s_1\in\left[0,\frac{1}{2}\right]\\ g(2s_1 -1,\ldots,s_{n-1},s_n) &\text{ si } s_1\in\left[\frac{1}{2},1\right]. \end{array} \right. $$

Proposition

Pour tout entier $n \geq 2$, la loi $*$ passe au quotient sur $\pi_n(X,A,x_0)$, et fait de $\pi_n(X,A,x_0)$ un groupe. Ce groupe est abélien
si $n \geq 3$.

Démonstration

On peut faire des remarques similaires à celles qui ont déjà été faites dans le cadre des groupes d’homotopie supérieure.
Pour tout $n \geq 1$, on munit $\Pi_n(X,A,x_0)$ de la topologie compacte-ouverte, et on note $[x_0]_n$ l’application de $I_n \to X$ constante égale à $x_0$. On obtient ainsi un espace topologique pointé $(\Pi_n(X,A,x_0),[x_0]_n)$.

Pour $n \geq 2$, un élément de $\Pi_n(X,A,x_0)$ n’est rien d’autre qu’un lacet tracé dans $\Pi_{n-1}(X,A,x_0)$ et basé en $[x_0]_{n-1}$. En effet, tout élément $f \in \Pi_n(X,A,x_0)$ peut se voir comme une famille à un paramètre $\{ f_t \}_{t \in [0,1]}$ d’éléments de $\Pi_{n-1}(X,A,x_0)$ définie par

$$f_t(s_1,\ldots,s_{n-1})=f(t,s_1,\ldots,s_{n-1}).$$

Puisque $f_0=f_1=[x_0]_{n-1}$, $\{f_t\}_{t \in [0,1]}$ est un lacet basé en $[x_0]_{n-1}$. Cette correspondance respecte les relations d’homotopie, ainsi la loi $*$ et la loi de concaténation sur les chemins. On obtient donc une identification entre $(\pi_n(X,A,x_0),*)$ et $(\pi_1(\Pi_{n-1}(X,A,x_0),[x_0]_{n-1}),*)$, d’où la structure de groupe.

Lorsque $n \geq 3$, on peut également voir un élément $f \in \Pi_n(X,A,x_0)$ comme une application de $g :I_{n-1} \to \Pi_1(X,A,x_0)$ par la formule suivante : $g(s_1,\ldots,s_{n-1})(t):=f(s_1,\ldots,s_{n-1},t)$. On vérifie sans mal que cette formule, compatible avec les relations d’homotopie et de composition, identifie $\pi_n(X,A,x_0)$ avec $\pi_{n-1}(\Pi_1(X,A,x_0),[x_0]_1)$. Ainsi, $\pi_n(X,A,x_0)$ est commutatif dès que $n \geq 3$, puisque les groupes d’homotopie d’un espace le sont pour $n \geq 2$.

Suite exacte d’homotopie associée à une paire d’espaces

Pour alléger les notations, nous allons supprimer les références au point base $x_0$, notant $\pi_n(A)$ ou $\pi_n(X,A)$ au lieu de $\pi_n(A,x_0)$ ou $\pi_n(X,A,x_0)$.
Supposons que $f$ soit un élément de $\Pi_n(A)$. On peut voir $f$ comme un élément de $\Pi_n(X)$, ce qui induit une application
$i_* : \pi_n(A) \rightarrow \pi_n(X)$, qui est un morphisme de groupes lorsque $n \geq 1$.

Si, à présent, $f$ appartient à $\Pi_n(X)$, alors $f$ est constant égale à $x_0$ sur le bord $\partial I_n$ et en particulier $f \in \Pi_n(X,A)$. Cela induit une application en homotopie $j_* : \pi_n(X) \rightarrow \pi_n(X,A)$, qui est un morphisme de groupes lorsque $n\geq 2$.

Enfin, considérons $f \in \Pi_n(X,A)$. La restriction de $f$ à la face $I_{n-1}$ (celle pour laquelle la dernière coordonnée vaut $0$) définit un élément de $\Pi_{n-1}(A)$, noté $\partial f$. Là encore, l’application $\partial f$ envoie classes d’homotopies relatives sur classes d’homotopies relatives, et l’on obtient une application de bord $\partial : \pi_n(X,A) \rightarrow \pi_{n-1}(A)$, qui est un morphisme de groupes lorsque $n \geq 2$.

Montrons à présent que les applications $i_{*}$, $j_{*}$ et $\partial$ s’agencent en une suite exacte longue.

Théorème (suite exacte de la paire en homotopie)

La suite

$$ \ldots \rightarrow \pi_n(A) \xrightarrow{i_{*}} \pi_n(X) \xrightarrow{j_{*}} \pi_n(X,A) \xrightarrow{\partial} \pi_{n-1}(A) \rightarrow \ldots \rightarrow \pi_0(X) $$

est exacte.

Démonstration

- égalité $ \operatorname{Im} j_*=\operatorname{Ker} \partial$.

On commence par remarquer que $[f] \in Im j_*$ si et seulement s’il existe un
représentant $f \in \Pi_n(X,A)$ qui vaut $x_0$ sur le bord $\partial I_n$, et en particulier sur la face $I_{n-1}$. Ainsi, l’inclusion $\operatorname{Im} j_* \subset \operatorname{Ker} \partial $ est évidente.
Nous montrons à présent l’inclusion $\operatorname{Ker} \partial \subset \operatorname{Im} j_*$. Considérons $f \in \Pi_n(X,A)$, un représentant de
$[f] \in \operatorname{Ker} \partial$. Il existe une homotopie $g_t$ dans $\Pi_{n-1}(A)$ reliant $\partial f=g_0$ à $g_1=[x_0]_{n-1}$ (rappelons que $[x_0]_{n-1}$ est l’application envoyant $I_{n-1}$ sur $x_0$). On peut alors définir une homotopie $f_t$ dans $\Pi_n(X,A)$ définie par la formule

$$f_t(s_1,\ldots,s_n)= \left\{ \begin{array}{ll} g_{-2s_n+1}(s_1,\ldots,s_{n-1}) &\text{ si } s_n\in\left[0,\frac{t}{2}\right]\\ f(s_1,\ldots,s_{n-1},\frac{2s_n-t}{2-t}) &\text{ si } s_n\in\left[\frac{t}{2},1\right]. \end{array} \right. $$

On constate que $f_0=f$ tandis que $f_1$ est une application constante égale à $x_0$ sur le bord $\partial I_n$. Il s’ensuit que $[f]$ est bien dans $\operatorname{Im} j_*$.

- égalité $\operatorname{Im} \partial = \operatorname{Ker} i_* $.

Là encore, l’inclusion $\operatorname{Im} \partial \subset \operatorname{Ker} i_*$ est très facile. En effet, si $f \in \Pi_{n-1}(A)$ est la restriction à $I_{n-1}$ d’une application $g \in \Pi_n(X,A)$, alors on peut poser pour $t \in [0,1]$ :

$$ f_t(s_1,\ldots,s_{n-1}):=g(s_1,\ldots,s_{n-1},t).$$

Il s’agit d’une homotopie dans $\Pi_{n-1}(X)$ entre $f$ et $[x_0]_{n-1}$. Aussi, $[f]$ est dans $\operatorname{Ker} i_*$.

Réciproquement, considérons $f \in \Pi_n(A)$ tel que $[f] \in \operatorname{Ker} i_*$. Il existe par hypothèse une homotopie $f_t$ dans $\Pi_{n-1}(X)$ telle que $f_0=f$ et $f_1=[x_0]_{n-1}$. Alors on peut définir $g: I_n \to X$ par la formule

$$g(s_1,\ldots,s_n):=f_{s_n}(s_1,\ldots,s_{n-1}).$$

L’application $g$ est dans $\Pi_n(X,A)$ et $\partial g=f$. Donc $[f] \in \operatorname{Im} \partial $.

- égalité $\operatorname{Im} i_* = \operatorname{Ker} j_*$.

Considérons pour commencer $[f] \in \operatorname{Im} i_*$, ce qui signifie qu’il existe un représentant $f \in \Pi_{i}(A)$. Pour tout $t \in [0,1]$, on définit $f_t : I_n \to X$ par la formule

$$ f_t(s_1,\ldots,s_n)=f(s_1,\ldots,s_{n-1},(1-t)s_n+t).$$

Il s’agit d’une homotopie dans $\Pi_n(X,A)$ entre $f_0=f$ et l’application $[x_0]_{n}$. Par conséquent $[f] \in \operatorname{Ker} j_*$.

Réciproquement, considérons un élément $[f] \in \operatorname{Ker} j_*$. On choisit un représentant $f \in \Pi_n(X)$, et par hypothèse, il existe une
homotopie $f_t$ dans $\Pi_n(X,A)$ telle que $f_0=f$ et $f_1=[x_0]_n$. Pour tout $t \in [0,1]$, on définit $g_t : I_n \to X$ par la formule

$$ g_t(s_1,\ldots,s_n)=f_{ts_n}(s_1,\ldots,s_{n-1},(1-t)s_n).$$

Il s’agit d’une homotopie dans $\Pi_n(X)$ qui relie $g_0=f$ à $g_1$ qui est dans $\Pi_n(A)$ (en effet $g_1(s_1,\ldots,s_n)=f_{s_n}(s_1,\ldots,s_{n-1}, 0)$ appartient bien à $A$). Il s’ensuit que l’on a bien l’inclusion $[f] \in \operatorname{Im} i_*$.

Suite exacte d’homotopie pour les espaces fibrés

La suite exacte de la paire prend une forme particulièrement agréable dans la situation suivante. Considérons un fibré $\pi : E \to B$, d’espace total $E$, de fibre $F$ et de base $B$. Fixons-nous un point base $b_0 \in B$, et identifions $F$ avec $\pi^{-1}(b_0)$, la fibre de $b_0$. Fixons également un point base $e_0 \in F$. Nous noterons ci-dessous $\pi_n(B)$ au lieu de $\pi_n(B,b_0)$ et $\pi_n(E)$ (resp. $\pi_n(E,B)$) au lieu de $\pi_n(E,e_0)$ (resp. $\pi_n(E,F,e_0)$).

La projection $\pi$ envoyant toute la fibre $F$ sur le point $b_0$, elle induit en homotopie une application $\pi_*$ de l’espace $\pi_n(E,F)$ dans $\pi_n(B)$, qui est un homomorphisme de groupes dès que $n \geq 2$. Nous allons montrer

Proposition

L’application $\pi_* : \pi_n(E,F) \to \pi_n(B)$ est une bijection, et un isomorphisme de groupes si $n \geq 1$.

Démonstration

Le résultat clé dans la preuve de la proposition est que les espaces fibrés ont la propriété de relèvement des homotopies.

Lemme(lemme de relèvement des homotopies)

Soit $\pi: E \to B$ un fibré de fibre $F$. Soit $b_0$ un point de $B$, et $e_0$ un point de $E$ dans la fibre de $b_0$.
Supposons données $f$ et $g$ deux applications de $\Pi_n(B,b_0)$, $\tilde{f}$ et
$\tilde{g}$ deux applications de $\Pi_n(E,F,e_0)$ qui relèvent $f$ et $g$ respectivement,
et $H: [0,1] \times I_n \to (B,b_0)$ une homotopie (dans $\Pi_n(B,b_0)$) telle que $H(0,\ )=f$ et $H(1, \ )=g$.
Alors il existe
une homotopie $\tilde{H}: [0,1] \times I_n \to (E,F,e_0)$ (homotopie dans $\Pi_n(E,F,e_0)$) qui relève $H$, et telle que $\tilde{H}(0,\ )=\tilde{f}$ et
$\tilde{H}(1,\ )=\tilde{g}$.

Démonstration. L’homotopie $H : [0,1] \times I_n \to B$ permet de construire le fibré

$$ H^*E = \{ (t,z,\tilde{x}) \in [0,1] \times I_n \times R \ | \ H(t,z)=\pi(\tilde{x}) \}.$$

Il s’agit d’un fibré $\pi^* : H^*E \to [0,1] \times I_n$, de fibre $F$, au-dessus du produit $[0,1] \times I_n$. Supposons que $\tilde{H}: [0,1] \times I_n \to E$ soit une application continue qui relève $H$ (i.e telle que $\pi \circ \tilde{H}=H$). Alors l’application $\sigma_{\tilde{H}}: [0,1] \times I_n \to [0,1] \times I_n \times E$, définie par $\sigma_{\tilde H}(t,z)=(t,z,\tilde{H}(t,z))$, est à valeurs dans le fibré $H^*E$ et satisfait $\pi^* \circ \sigma_{\tilde{H}}=Id$. Autrement dit, $\sigma_{\tilde{H}}$ est une section de $H^*E$.
Réciproquement, toute section de $H^*E$ fournit une application $\tilde{H} : [0,1] \times I_n \to E$ qui relève $H$. Le lemme de relèvement des homotopies revient donc exactement à trouver une section $\sigma : [0,1] \times I_n \to H^*E$, qui étende la section $\overline{\sigma}$ au-dessus de $\Sigma_n = ( \{ 0 \} \times I_n) \cup ([0,1] \times \Sigma_{n-1}) \cup(\{1\} \times I_n )$ donnée par :

- $\overline{\sigma}(0,z)=\tilde{f}(z)$ pour tout $z \in I_n$.

- $\overline{\sigma}(t,z)=e_0$ pour tout $(t,z) \in [0,1] \times \Sigma_{n-1}$.

- $\overline{\sigma}(1,z)=\tilde{g}(z)$ pour tout $z \in I_n$.

Maintenant, $H^*E$ est un fibré au-dessus de l’espace contractile $[0,1] \times I_n$. Il est donc trivial, c’est-à-dire isomorphe au fibré produit $[0,1] \times I_n \times F$. Dans cette trivialisation, une section $\sigma$ est tout simplement une application continue de $[0,1] \times I_n \to F$. Notre problème de relèvement des homotopies est donc ramené à la question suivante : étant donnée une application continue $\overline{\sigma} : \Sigma_n \to F$, peut-on l’étendre en une application continue $\sigma : I_{n+1} \to F$ ? Or il existe une rétraction $r : I_{n+1} \to \Sigma_n$ (faire une projection radiale par rapport au centre de la face $s_{n+1}=0$), et donc $\sigma = \overline{\sigma} \circ r$ est l’extension cherchée.

C.Q.F.D.

Nous pouvons à présent montrer que $\pi_* : \pi_n(E,F) \to \pi_n(B)$ est bijective.
Commençons par prouver que $\pi_*$ est injective. Soit $\tilde{f}$ et $\tilde{g}$ dans $\Pi_n(E,F,e_0)$ de sorte que $\pi \circ \tilde{f}=\pi \circ \tilde{g}$. En relevant l’homotopie constante égale à $\pi \circ \tilde{f}$ par le lemme de relèvement des homotopies, on obtient une homotopie $\tilde{F} : [0,1] \times I_n \to (E,F,e_0)$ qui relie $\tilde{f}$ et $\tilde{g}$. Ceci donne l’égalité $\tilde{f}=\tilde{g}$ dans $\pi_n(E,F)$.

Pour montrer la surjectivité de $\pi_*$, on procède comme suit. Soit $f \in \Pi_n(B,b_0)$. On identifie le cube $I_n$ au produit $[0,1] \times I_{n-1}$, ce qui permet d’identifier $f$ à une application $H : [0,1] \times I_{n-1} \to B$, autrement dit une homotopie (dans $\Pi_{n-1}(B,b_0)$) entre $[b_0]_{n-1}$, l’application constante égale à $b_0$ sur $I_{n-1}$, et elle-même. Par le lemme de relèvement des homotopies, cette application $H$ se relève en une application $\tilde{H}: [0,1] \times I_{n-1} \to E$, qui est une homotopie, dans $\Pi_{n-1}(E,F,e_0)$, reliant l’application $[e_0]_{n-1}$ à elle-même. Nous avons donc $\tilde{H}(t,x) \in F$ lorsque $(t,x) \in \partial([0,1] \times I_{n-1})$ et $\tilde{H}(t,s_1,\ldots,s_{n-1})=e_0$ dès que $(t,s_1,\ldots,s_{n-1}) \in \partial([0,1] \times I_{n-1})$ et $s_{n-1} \not = 0$. Il s’ensuit que si l’on identifie $I_n$ et $[0,1] \times I_{n-1}$, $\tilde{H}$ se voit comme une application $\tilde{f} \in \Pi_n(E,F,e_0)$ qui relève $f$.

La suite exacte de la paire et la proposition précédente conduisent au corollaire :

Théorème(Suite exacte d’une fibration)

Soit $\pi: E \to B$ un fibré d’espace total $E$, de fibre $F$ et de base $B$. Alors, on a une suite exacte entre groupes d’homotopie :

$$ \ldots \rightarrow \pi_n(F) \xrightarrow{i_{*}} \pi_n(E) \xrightarrow{\pi_{*}} \pi_n(B) \xrightarrow{\partial} \pi_{n-1}(F) \rightarrow \ldots \rightarrow \pi_0(E). $$

Un cas particulier intéressant de cette suite exacte est celui où $\pi: E \to B$ est un revêtement. La fibre $F$ est alors discrète, et donc $\pi_n(F)=0$ pour $n \geq 1$. On peut alors conclure

Corollaire(Homotopie et revêtement)

Si $\pi: E \to B$ est un revêtement, alors pour tout $n\geq 2$, on a $\pi_n(E) \simeq \pi_n(B)$.

Nous voyons par exemple qu’un espace $X$ dont le revêtement universel est contractile (une surface différente de ${\mathbb S}^2$ ou ${\mathbb{RP}}^2$, par exemple) doit satisfaire $\pi_n(X)=0$ dès que $n \geq 2$.

Fibration de Hopf et calcul de $\pi_3({\mathbb S}^2)$

Pour une présentation en images de la fibration de Hopf, on pourra se reporter aux chapitres 7 et 8 du film Dimensions.

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La fibration de Hopf

La suite exacte d’homotopie d’un fibré donne des informations particulièrement intéressantes lorsqu’on l’applique à la fibration de Hopf $\pi: {\mathbb S}^3 \to {\mathbb S}^2$, de fibre ${\mathbb S}^1$.

La partie de la suite exacte qui va retenir notre attention est

$$ \pi_3({\mathbb S}^1) \rightarrow \pi_3({\mathbb S}^3) \rightarrow \pi_3({\mathbb S}^2) \rightarrow \pi_2({\mathbb S}^1)$$

Comme le revêtement universel de ${\mathbb S}^1$ est contractile, le corollaire ci-dessus nous assure que $\pi_3({\mathbb S}^1)=\pi_2({\mathbb S}^1)=0$. Nous héritons donc d’un isomorphisme $\pi_3({\mathbb S}^3) \simeq \pi_3({\mathbb S}^2)$. Or nous avons vu dans l’article sur les groupes d’homotopie supérieurs que $\pi_3({\mathbb S}^3) \simeq {\mathbb Z}$. On peut donc énoncer :

Théorème (Hopf)

Le groupe $\pi_3({\mathbb S}^2)$ est isomorphe à ${\mathbb Z}$.