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Homotopies, équivalences d’homotopies, etc.

Pour définir le groupe fondamental d’un espace topologique $X$, nous avons considéré la relation d’homotopie sur les lacets basé en un point $x_0$ de $X$. Cette relation peut cependant être étendue aux fonctions continues entre deux espaces topologiques.

Définition (Homotopie)

Étant donnés deux espaces topologiques $X$ et $Y$, deux applications continues $f$ et $g$ de $X$ dans $Y$ sont dites homotopes s’il existe une application continue

$$H:[0,1]\times X\to Y$$

dont les restrictions $x\mapsto H(0,x)$ et $x\mapsto H(1,x)$ coïncident respectivement avec $f$ et $g$. On dit que $H$ est une homotopie entre $f$ et $g$.

Une homotopie $H$ entre $f$ et $g$ peut être pensée comme un chemin $(h_t)_{t\in [0,1]}$ d’applications continues de $X$ dans $Y$, défini par $h_t(x)=H(t,x)$, reliant $f$ à $g$. Ainsi, $f$ et $g$ sont homotopes si elle sont reliés par un chemin continu d’applications continues de $X$ dans $Y$ (on met la topologie compacte-ouverte sur l’espace $\mathcal{C}(X,Y)$ des applications continues de $X$ dans $Y$). Par exemple, n’importe quelle rotation $R$ de $\mathbb{R}^3$ est homotope à l’identité parce qu’on peut passer continument de l’une à l’autre en considérant des rotations qui ont toutes le même axe, et donc l’angle varie continûment de celui de $R$ à $0$.

Il est clair que, deux espaces topologiques $X$ et $Y$ étant fixés, l’homotopie définit une relation d’équivalence sur l’ensembles des applications continues de $X$ dans $Y$.

Souvent, il est plus naturel de considérer des homotopies qui gardent certains points fixés.

Définition (Homotopie relative)

Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques, $X_0$ un fermé de $X$, et deux applications continues $f$ et $g$ de $X$ dans $Y$ qui coïncident en restriction à $X_0$. On dit que $f$ et $g$ sont dites homotopes relativement à $X_0$ s’il existe une homotopie $H:[0,1]\times X\to Y$ entre $f$ et $g$ telle que, pour tout $s\in [0,1]$, l’application $x\mapsto H(s,x)$ coïncident avec $f$ et $g$ en restriction à $X_0$.

Par exemple, l’homotopie simple n’est pas une relation intéressante sur les chemins paramétrés par $[0,1]$ à valeurs dans un espace $Y$ : si $Y$ est connexe, tous les chemins à valeurs dans $Y$ sont deux à deux homotopes. Par contre, l’homotopie à extrémités fixées, c’est-à-dire l’homotopie relativement aux fermés $\{0,1\}$ de $[0,1]$ est une relation beaucoup plus pertinente.

Le concept d’homotopie permet de définir non seulement des relations intéressantes entre applications, mais aussi entre espaces topologiques. En voici quelques exemples.

Définition (Espace contractile, rétract par déformation)

On dit qu’un espace topologique $X$ est contractile, si l’application identité $\mathrm{Id}_X$ est homotope à une application constante. Si $A$ est une partie d’un espace $X$, on dit que $A$ est un rétact par déformation de $X$ si $\mathrm{Id}_X$ est homotope à une application à valeurs dans $A$, dont la restriction à $A$ est $\mathrm{Id}_A$.

En guise d’exercices élémentaires, nous laissons nos lecteurs se convaincre que :

  • tout convexe est contractile ;
  • tout arbre est contractile ;
  • la sphère unité $\mathbb{S}^n$ est un rétarct par déformation de $\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}$ ;
  • une surface fermée privée d’un point a le type d’homotopie d’un bouquet de cercles (un nombre finis de cercles qui s’intersectent deux à deux en point commun).

Définition (Équivalence d’homotopie, type d’homotopie)

On dit que les espaces $X$ et $Y$ sont homotopiquement équivalents, ou ont le même type d’homotopie, s’il existe deux applications continues $f:X\to Y$ et $g:Y\to X$ telles que la composée $f\circ g$ est homotope à $\mathrm{Id}_X$ et la composée $g\circ f$ est homotope à $\mathrm{Id}_Y$. On dit alors que les applications $f$ et $g$ sont des équivalences d’homotopie.

De manière informelle, une équivalence d’homotopie est donc « une application continue qui est inversible à homotopie près ». Bien sûr, un homéomorphisme est une équivalence d’homotopie. Mais l’équivalence d’homotopie est une notion beaucoup plus générale. Elle autorise notamment à « écraser par déformations » certaines parties de $X$ ou $Y$. Par exemple, deux espaces contractiles (par exemple $\mathbb{R}^p$ et $\mathbb{R}^q$) ont le même type d’homotopie. Et si $X$ se rétracte par déformation sur $Y\subset X$ alors $X$ et $Y$ ont le même type d’homotopie. On en déduit par exemple qu’un anneau et une bande de Möbius ont le même type d’homotopie : en effet, ils se rétractent tous les deux par déformation sur leur âme, qui est un cercle.