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Groupe fondamental par les revêtements

Dans le 12e paragraphe du premier mémoire, Poincaré associe un groupe à un espace topologique. On parle aujourd’hui du « groupe de Poincaré » ou plus fréquemment de « groupe fondamental ». Il s’agit en effet d’un concept… fondamental, peut-être plus encore que celui d’homologie.

On peut décrire ce groupe d’au moins deux manières, assez différentes, chacune apportant son regard propre. D’une certaine façon, Poincaré hésite entre les deux approches et mêle en permanence les deux points de vue. Un siècle plus tard, la plupart des livres de topologie algébrique ont fait leur choix et présentent la définition du groupe fondamental en termes de classes d’homotopie de lacets. La deuxième définition n’apparaît plus alors que comme un théorème « galoisien » décrivant les revêtements d’un espace. Nous nous proposons ici de ne pas faire ce choix, de façon à ce que le lecteur puisse aborder ce concept important comme il le souhaite. L’approche « par les lacets » est plus concrète et permet plus facilement des calculs, alors que l’approche « par les revêtements » est plus conceptuelle et peut-être plus esthétique. Quoi qu’il en soit, il est important de maîtriser les deux approches et la seule liberté qui se présente à l’étudiant est celle de choisir l’ordre dans lequel il préfère les aborder.

Des revêtements au groupe fondamental

Comme sont titre l’indique, cette rubrique décrit l’approche du groupe fondamental « par les revêtements ». Au départ sont donc les revêtements :

On considère l’ensemble des revêtements d’un espace donné, et on munit cet ensemble d’un ordre naturel :

Cela conduit naturellement à étudier les éléments maximaux, que l’on appellera « simplement connexes » :

De là, on définit le revêtement universel d’un espace, et le groupe fondamental de cet espace : le second est par définition le groupe des automorphismes du premier.

Un espace $X$ étant fixé, les revêtements de $X$ et les sous-groupes du groupe fondamental de $X$ sont alors liés par une théorie galoisienne qui permet de classifier l’ensemble des revêtements d’un espace donné.

Sur l’image ci-dessous, sont représentées les surfaces de Riemann des fonctions multivaluées $z \mapsto \sqrt{z}$ et $z \mapsto \sqrt[3]{z}$.

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Modèle de la collection de l’IHP

Les deux approches du groupe fondamental

Bien entendu, nous montrons que a définition que nous donnons ici du groupe fondamental d’un espace (comme groupe des automorphismes du revêtement universel) coïncide avec la définition « par les lacets ».

Les deux approches sont confrontées dans le calcul du groupe fondamental d’une variété obtenu par recollement des faces d’un polyèdre.

Fonctions multiformes, revêtements, groupe fondamental

À l’époque de Poincaré, les « fonctions multiformes » étaient omniprésentes dans de nombreux domaines mathématiques. Ces fonctions ne sont pas des fonctions au sens moderne car à un point peuvent être associées plusieurs valeurs. Elles permettent de mettre en lumière une des origines de la théorie des revêtements.

Notre article sur la genèse du groupe fondamental chez Poincaré décrit le chemin effectué ce dernier, depuis les problèmes soulevés par l’« uniformisation des fonctions multiformes » jusqu’à la définition générale du groupe fondamental d’une variété.

Dans cette rubrique, nous présentons les liens entre fonctions multiformes, revêtements et groupe fondamental. C’est surtout l’occasion de donner beaucoup d’exemples. Un exemple supplémentaire est détaillé à part :

L’image ci-dessous représente la surface de Riemann $w^4 = 1-z^2$.

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Modèle de la collection de l’IHP