Tra il 1895 e il 1904, Henri Poincaré fa stampare una seriedi sei Mémoires e cinque Notes aux Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. Ces articles révolutionnaires fondent ce qui deviendra la topologie algébrique. Ils sont écrits dans le style inimitable de Poincaré : les idées abondent et... côtoient les erreurs. L’ensemble représente un peu plus de 300 pages de mathématiques exceptionnelles. Nous les rassemblons ici [1] dans une version ressaisie accompagnée de courtes notes mais aussi de liens vers des commentaires plus détaillés ou vers des parties du cours moderne.
L’Analysis Situs
L’Analysis Situs proprement dit est le premier et le plus important de ces mémoires. Cet ouvrage de 120 pages, publié en 1895 dans le Journal de l’École Polytechnique, synthétise des réflexions qui ont occupé la pensée de Poincaré pendant une dizaine d’années.
Poincaré y définit la notion de variété et introduit deux invariants fondamentaux : les nombres de Betti (généralisant un concept introduit par le géomètre italien Betti pour les surfaces), et le groupe fondamental (en s’inspirant de ses travaux antérieurs sur la monodromie des équations différentielles et l’uniformisation des surfaces de Riemann). Pour l’étude systèmatique de ces nouveaux invariants, Poincaré construit de nombreux exemples astucieux de variétés de dimensions 3. Concernant les nombres de Betti, Poincaré donne une première preuve du célèbre théorème de dualité qui affirme que les nombres de Betti également distants des extrêmes sont égaux. Pour finir, il esquisse une preuve de la formule d’Euler-Poincaré, qui généralise en dimension supérieure la formule démontrée par Euler pour les polyèdres convexes. Les nouvelles questions soulevées par Poincaré dans ce mémoire ont eu un impact fondamental dans le développement des mathématiques du 20ème siècle et occupent encore les mathématiciens de nos jours. On trouvera des commentaires détaillés de l’Analysis Situs dans la rubrique Commentaires de l’Analysis Situs.
Les Compléments à l’Analysis Situs
La réception du mémoire de Poincaré soulèvera un questionnement important dans la communauté mathématique. Ces interrogations conduiront Poincaré à y ajouter des éclaircissements et des développements, sous la forme de cinq compléments. Ces compléments enrichiront considérablement l’Analysis Situs en développant de nombreux aspects nouveaux.
Le premier complément à l’Analysis Situs, simplement intitulé "Complément à l’Analysis Situs", est un long article de 58 pages publié en 1899 à Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Pour répondre à l’objection de Poul Heegaard concernant son théorème de dualité, Poincaré introduit l’homologie polyédrale qui donne une manière combinatoire de calculer les nombres de Betti. Il montre que son théorème de dualité est bien valide si on définit les nombres de Betti comme la dimension de l’homologie rationnelle.
On pourra accompagner la lecture de ce premier complément de nos commentaires.
Le deuxième complément à l’Analysis Situs est paru dans les Proceedings of the London Mathematical Society le 14 juin 1900. Poincaré y raffine sa description des groupes d’homologie en introduisant les coefficients de torsion. Il précise ensuite son théorème de dualité : si $V$ est une variété de dimension $n$, alors les rangs des parties libres de $H_k(V)$ et $H_{n-k} (V)$ sont égaux, tandis que la partie de torsion de $H_k(V)$ est isomorphe à la partie de torsion de $H_{n-k-1}(V)$.
On retrouvera nos commentaires dans la rubrique Commentaires du deuxième complément.
En 1902, Poincaré publie dans le Bulletin de la Société Mathématique de France un troisième complément à l’Analysis Situs intitulé Sur certaines surfaces algébriques. Avec le quatrième complément, il forme un cycle dont l’objet est d’appliquer les outils de l’Analysis Situs à l’étude des surfaces complexes. En s’inspirant d’un résultat de Picard, Poincaré étudie le groupe fondamental des surfaces algébriques et affirme que les surfaces algébriques "génériques" sont simplement connexes.
Nos commentaires sur la validité des énoncés et des preuves contenues dans ce mémoire sont accessibles dans la rubrique Commentaires du troisième complément.
La même année paraît au Journal de Mathématiques un quatrième complément intitulé Sur les Cycles des surfaces algébriques, dans lequel Poincaré poursuit l’étude de la topologie des surfaces complexes. En développant et précisant des travaux de Picard, Poincaré calcule les nombres de Betti des surfaces algébriques en les décrivant comme des fibrations au dessus de $\mathbb{C} \mathbb{P}^1$ avec un nombre fini de fibres singulières. Ce calcul repose sur une description du groupe de Picard, qui décrit l’action en homologie de la monodromie de la fibration en dehors des fibres singulières.
Nos commentaires sur ce mémoire se trouvent dans la rubrique Commentaires du quatrième complément.
Le cinquième et dernier complément à l’Analysis Situs est paru en 1904 dans les Rendiconti del Circolo matematico di Palermo. Dans ce mémoire, Poincaré étudie la topologie des espaces de dimension trois ou plus. Le cinquième complément est resté célèbre dans le monde mathématique pour la question que formule Poincaré dans le dernier paragraphe, connue sous le nom de conjecture de Poincaré. La conjecture de Poincaré a inspiré de nombreux mathématiciens, donné naissance à beaucoup de concepts et méthodes mathématiques et a été résolue un siècle plus tard par Grigori Perelman.
Dans le cinquième complément, Poincaré réussit à construire une sphère d’homologie (une variété qui a les mêmes groupes d’homologie que la sphère sans lui être homéomorphe) comme recollement de deux corps en anses de genre $2$.
Nos Commentaires pourront vous guider dans la lecture de ce dernier mémoire.
Les Notes
La publication de l’Analysis Situs et de ses cinq compléments est jalonnée de notes aux Comptes rendus de l’Académie des Sciences. Ces notes nous renseignent sur la façon dont les idées de Poincaré ont germé et se sont développées. Nous les avons regroupées dans une même rubrique.
On trouvera dans la rubrique "Commentaires des Notes" quelques remarques sur ces notes.
Analyse par Poincaré de ses propres travaux
Dans un article écrit en 1905 mais publié seulement en 1921 dans Acta Mathematica, [2], Poincaré analyse et commente son œuvre mathématique. Nous reproduisons ici le paragraphe qui concerne l’Analysis Situs.
[1] Pour nos lecteurs anglophones, s’ils existent, il est utile de signaler qu’une traduction anglaise de ces textes originaux a été réalisée par J. Stillwell et peut se consulter ici.
[2] Analyse des travaux scientifiques de Poincaré faite par lui-même, Acta Mathematica 38, 1921, pp. 1—135