> Textes originaux > Sur certaines surfaces alg√©briques ; Troisi√®me compl√©ment √† l‚ÄôAnalysis (...) > Sur certaines surfaces alg√©briques

Cette page pr√©sente la transcription d‚Äôune section des Ňíuvres Compl√®tes de Poincar√©. Vous pouvez retrouver nos commentaires par ici.

Sur certaines surfaces algébriques

Proposons-nous d’√©tudier, au point de vue de l’Analysis situs, la surface

$$\tag{1} z=\sqrt{F(x,y)},$$

o√Ļ $F(x,y)$ est un polynome [1]. Nous supposerons que la courbe

$$F(x,y)=0$$

ne pr√©sente que des points ordinaires o√Ļ $\frac{dF}{dx}$ n’est pas nul, ou bien $\frac{dF}{dx}=0$, mais sans que $\frac{d^2F}{dx^2}$ ni $\frac{dF}{dy}$ s’annulent, ou des points doubles ordinaires o√Ļ

$$\frac{dF}{dx}=\frac{dF}{dy}=0,$$

mais sans que $\frac{d^2F}{dx^2}$ ni $\frac{d^2F}{dx^2}\frac{d^2F}{dy^2}-\left(\frac{d^2F}{dxdy}\right)^2$ s’annulent.

Consid√©rons d’abord $y$ comme une constante. Alors l’√©quation (1) repr√©sentera une courbe alg√©brique et les coordonn√©es $x$ et $z$ d’un point de cette courbe pourront s’exprimer, comme on le sait, comme des fonctions fuchsiennes d’une m√™me variable auxiliaire $u$. Consid√©rons le groupe fuchsien correspondant et le polygone fuchsien qui l’engendre. En g√©n√©ral, le polygone fuchsien qui correspond √† une courbe de genre $p$ est un polygone de $4p$ c√īt√©s, et l’on peut supposer, soit que les c√īt√©s de rang $4q+1$ et $4q+3$ comme les c√īt√©s de rang $4q+2$ et $4q+4$ sont conjugu√©s (ce qui correspond aux p√©riodes dites normales des fonctions ab√©liennes), soit que les c√īt√©s oppos√©s sont conjugu√©s.

C’est cette derni√®re hypoth√®se que nous adopterons.

Je rappelle d’ailleurs que la somme des angles du polygone doit √™tre √©gale √† $2\pi$. Mais, dans le cas particulier de la courbe (1), on est dans le cas dit hyperelliptique, c’est-√†-dire que les fonctions ab√©liennes correspondantes se r√©duisent √† des fonctions hyperelliptiques.

Dans ce cas, on sait que notre polygone fuchsien admet un centre de sym√©trie et se d√©compose en deux polygones de $2p+1$ c√īt√©s sym√©triques l’un de l’autre par rapport √† ce centre.

Avant d’aller plus loin, je pr√©cise ce que j’entends par ce mot sym√©trie. Nous nous pla√ßons en ce moment au point de vue de la g√©om√©trie non-euclidienne ; je veux dire que nous consid√©rons comme des droites non-euclidiennes les cercles qui coupent orthogonalement le cercle fondamental ; nous disons que deux figures sont sym√©triques par rapport √† une droite non-euclidienne quand on peut passer de l’une √† l’autre par une inversion (transformation par rayons vecteurs r√©ciproques) qui n’alt√®re pas cette droite non-euclidienne ; nous disons que deux figures sont √©gales quant elles sont sym√©triques d’une m√™me troisi√®me par rapport √† deux droites non-euclidiennes rectangulaires passant par ce centre.

Cela pos√©, notre polygone $R$ de $4p$ c√īt√©s se d√©compose en deux polygones $R'$ et $R''$ de $2p+1$ c√īt√©s sym√©triques l’un de l’autre par rapport √† un centre.

Nous pouvons supposer que le polynome $F(x,y)$ n’est divisible par aucun carr√©. Dans ces conditions, l’√©quation en $x$

$$F(x,y)=0$$

n’aura pas de racine double, sauf pour certaines valeurs singuli√®res de $y$. Elle aura $2p+2$ racines simples que j’appelerai

$$x_0,x_1,x_2,\ldots,x_{2p+1},$$

Alors $x_0$ correspondra aux $2p+1$ sommets du polygone $R'$, tandis que $x_1,x_2,\ldots,x_{2p+1}$ correspondront aux milieux (toujours au point de vue non-euclidien) des $2p+1$ c√īt√©s.

Dans le plan des $x$, nous pourrons tracer $2p+1$ coupures

$$C_1,C_2,\ldots,C_{2p+1}$$

allant du point $x_0$ aux points $x_1,x_2,\ldots,x_{2p+1}$, et de telle fa√ßon qu’aux deux l√®vres de la coupure $C_i$ correspondront sur le polygone $R'$ les deux moiti√©s du $i^{\textrm{i√®me}}$ c√īt√©.

Dans le cas de $p=1$ (c’est-√†-dire si l’√©quation $F=0$ est du quatri√®me degr√© en $x$), le polygone $R$ se r√©duit √† un parall√©logramme, les polygones $R'$ et $R''$ √† deux triangles rectilignes et les fonctions fuchsiennes √† des fonctions elliptiques.

Qu’arrivera-t-il maintenant si, faisant varier $y$ d’une mani√®re continue, cette variable revient √† sa valeur initiale ?

Notre groupe fuchsien variera d’une mani√®re continue, de m√™me que $x_0,x_1,\ldots,x_{2p+1}$ et que le polygone fuchsien $R$. Quand $y$ aura fait un tour complet, le groupe fuchsien sera redevenu le m√™me ; les points $x_i$ se seront en g√©n√©ral permut√©s entre eux et le polygone $R$ sera devenu un autre polygone $R_1$, √©quivalent √† $P$, je veux dire susceptible d’engendrer le m√™me groupe fuchsien.

Prenons, par exemple, le cas de $p=1$ ; le polygone $R$ est un parall√©logramme dont les c√īt√©s $\omega$ et $\omega'$ repr√©senteront en grandeur et en direction les deux p√©riodes d’une fonction elliptique. Quand $y$ aura d√©crit un tour complet, notre parall√©logramme sera devenu $R_1$ dont les c√īt√©s repr√©senteront encore en grandeur et en direction deux p√©riodes de la m√™me fonction elliptique ; seulement ces p√©riodes ne seront plus, en g√©n√©ral, $\omega$ et $\omega'$ mais deux p√©riodes √©quivalentes

$$\alpha\omega+\beta\omega',\ \ \gamma\omega+\delta\omega',$$

o√Ļ $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ sont quatre entiers tels que $\alpha\delta-\beta\gamma=1$.

Ceci nous ram√®ne √† un premier rapprochement avec l’Analysis situs. Supposons que $p=1$ ; supposons que l’on convienne de donner √† $y$ une quelconque des valeurs situ√©es sur un certain contour ferm√© $K$, √† $x$ une valeur complexe quelconque, et que $z$ soit d√©fini par l’√©quation (1). L’ensemble de ces points $x,y,z$ constituera une certaine vari√©t√© ferm√©e $V$ √† 3 dimensions. Quelles sont les propri√©t√©s de cette vari√©t√© du point de vue de l’Analysis situs ?

A chaque point de cette vari√©t√© je ferai correspondre trois variables r√©elles $\xi,\eta,\zeta$ d√©finies comme il suit : $\zeta$ sera fonction de $y$ seulement et augmentera de $1$ quand $y$ aura d√©crit son tour complet. Quant √† $\xi$ et $\eta$, ce seront des fonctions lin√©aires des parties r√©elle et imaginaire de l’int√©grale elliptique $u$ d√©finie par l’√©quation (1). Ces fonctions lin√©aires seront telles que $\xi$ et $\eta$ se changent en $\xi+1,\eta$ quand cette int√©grale elliptique augmente de $\omega$ et en $\xi,\eta+1$ quand elle augmente de $\omega'$ (de telle fa√ßon que $u=\xi\omega+\eta\omega'$). Dans ces conditions, on retombera sur un m√™me point de la vari√©t√© $V$ quand $\xi,\eta,\zeta$ se changeront en

$$\xi+1,\eta,\zeta$$

ou en

$$\xi, \eta+1,\zeta$$

ou en

$$\delta\xi-\gamma\eta, \beta\xi+\alpha\eta, \zeta+1,$$

car si $\xi_1$ et $\eta_1$ sont ce que deviennent $\xi$ et $\eta$ quand on change $\zeta$ en $\zeta+1$, on aura

$$u=\xi\omega+\eta\omega'$$

et, d’autre part,

$$u=\xi_1(\alpha\omega+\beta\omega')+\eta_1(\gamma\omega+\delta\omega'),$$

ou plus généralement quand $\xi,\eta,\zeta$ subiront une transformation quelconque du groupe $G$ engendré par ces trois transformations.

On reconna√ģt l√† le groupe consid√©r√© dans l’Analysis situs, page $237$, $6^e$ exemple. La vari√©t√© $V$ est donc hom√©omorphe √† la vari√©t√© envisag√©e dans ce $6^e$ exemple et elle admet $G$ comme groupe fondamental (cf Analysis situs, paragraphe 12).

D√©finissons toujours la vari√©t√© de la m√™me mani√®re mais ne supposons plus $p=1$. Alors $R$ est un polygone fuchsien curviligne. Nous introduirons encore trois variables $\xi,\eta,\zeta$ ; cette derni√®re $\zeta$ sera d√©finie comme plus haut. Quant √† $\xi$ et $\eta$, ce seront des fonctions bi-uniformes de $\zeta$ et des parties r√©elle et imaginaire de la variable $u$ ; de telle fa√ßon qu’√† toute valeur complexe de $u$ corresponde un syst√®me de valeurs de $\xi$ et de $\eta$, et un seul, et inversement. A chaque valeur de $\zeta$ correspondra un groupe fuchsien et le polygone fuchsien $R$ relatif √† ce groupe. Ce groupe fuchsien sera engendr√© par $2p$ substitutions

$$S_1,S_2,\ldots, S_{2p}.$$

La substitution $S_k$ changera $\xi$ et $\eta$ en

$$\phi_k(\xi,\eta,\zeta),\ \ \psi_k(\xi,\eta,\zeta),$$

de sorte que nous retomberons sur un même point de la variété $V$ quand nous changerons $\xi,\eta,\zeta$ en

$$\phi_k(\xi,\eta,\zeta),\ \ \psi_k(\xi,\eta,\zeta),\ \ \zeta.$$

Nous pouvons d’ailleurs d√©finir les fonctions $\xi,\eta$ de telle fa√ßon que $\phi_k$ et $\psi_k$ ne d√©pendent pas de $\zeta$.

En effet, envisageons la figure form√©e par le polygone fuchsien $R=R'+R''$ et par ses transform√©s par les diverses substitutions du groupe fuchsien. Ce polygone et ses transform√©s remplissent la surface du cercle fondamental. La figure ainsi form√©e se d√©formera d’une mani√®re continue quand on fera varier $\zeta$ de mani√®re continue, mais elle restera hom√©omorphe √† elle-m√™me. On pourra donc faire correspondre √† tout point $M_0$ de cette figure dans sa position initiale un point $M$, et un seul, de la m√™me figure dans une quelconque de ses positions cons√©cutives, et cela de telle sorte que :

  1. Que le point $M$ se d√©place d’une mani√®re continue quand $\zeta$ varie d’une mani√®re continue ;
  2. Que, si $M_0$ est un sommet de $R$, $M$ reste un sommet de $R$ ; que, si $M_0$ est sur un c√īt√© de $R$, $M$ reste sur un c√īt√© de $R$ ;
  3. Que, si deux points $M_0$ et $M_0'$ sont congruents (c’est-√†-dire transform√©s l’un de l’autre par une des substitutions du groupe fuchsien), les points $M$ et $M'$ soient √©galement congruents.

Je supposerai alors que les valeurs des deux variables auxiliaires $\xi$ et $\eta$ sont les m√™mes pour le point $M_0$ et pour le point $M$ ; je supposerai, par exemple, que ce sont les coordonn√©es du point $M_0$.

Dans ces conditions, $\phi_k$ et $\psi_k$ ne dépendent pas de $\zeta$.

Quand, $y$ ayant fait un tour complet, $\zeta$ aura augmenté de $1$, le polygone $R$, en se déformant successivement, sera devenu un polygone $R_1$, équivalent à $R$.

Le point $M$ sera venu en un point $M_1$ dont les coordonnées seront

$$\theta(\xi,\eta), \ \ \theta_1(\xi,\eta).$$

On voit que l’on retombe sur un m√™me point de $V$ quand $\xi,\eta,\zeta$ se changent en

$$\theta(\xi,\eta),\ \ \theta_1(\xi,\eta),\ \ \zeta+1,$$

ou, plus généralement, quand $\xi,\eta,\zeta$ subissent une des substitutions du groupe $G$ engendré par les $2p+1$ substitutions qui changent $\zeta$ et $\eta$ en

$$\phi_k,\ \ \psi_k,\ \ \zeta\ \ (k=1,2,\ldots,2p)$$

ou en

$$\theta,\ \ \theta_1,\ \ \zeta+1.$$

Ce groupe $G$ sera donc le groupe fondamental de la variété $V$.

Nous remarquerons d’abord que ce groupe n’est pas simple. Nous pouvons appeler $G'$ le groupe engendr√© par les $2p$ substitutions $(\phi_k,\psi_k,\zeta)$ et $\Sigma$ la substitution $(\theta,\theta_1,\zeta+1)$. Je dis que $G'$ est un sous-groupe invariant de $G$ ; il suffit de montrer que $G'$ est permutable √† $\Sigma$. En effet, $\Sigma$ changeant le polygone $R$ en un polygone √©quivalent, n’alt√®re pas le groupe fuchsien. Or, le groupe fuchsien n’est autre chose que le groupe engendr√© par les $2p$ substitutions $(\xi,\eta;\phi_k,\psi_k)$ ; on voit que ce groupe est permutable √† la substitution $(\xi,\eta;\theta,\theta_1)$ et le th√©or√®me √©nonc√© s’en d√©duit imm√©diatement.

Consid√©rons maintenant une vari√©t√© $V$ d√©finie comme il suit :

Repr√©sentons la variable $y$ sur une sph√®re. Distinguons sur cette sph√®re les points ordinaires pour lesquels l’√©quation $F(x,y)$ n’a pas de racines multiples et les points singuliers pour lesquels cette √©quation a des racines multiples.

Soient $O$ un point ordinaire et $A_1,A_2,\ldots,A_q$ les points singuliers. Joignons $O$ à chacun de ces points par des coupures $OA_1,OA_2,\ldots,OA_q$ ne se coupant pas mutuellement.

D’autre part, tra√ßons autour de chacun des points singuliers un cercle de rayon tr√®s petit que nous appellerons cercle de garde.

Pour former la vari√©t√© $V$, nous donnerons √† $y$ une valeur quelconque non comprise dans l’un des cercles de garde, √† $x$ une valeur complexe quelconque, √† $z$ une des deux valeurs d√©finies par l’√©quation (1).

A chaque valeur de $y$ correspondra un polygone fuchsien $R$, et ce polygone est parfaitement d√©termin√© si $y$ est assujetti √† varier sans franchir les coupures $OA$ ; car c’est seulement quand $y$ fait un tour complet en tournant autour de l’un des points singuliers $A$ que le polygone $R$ peut s’√©changer contre un polygone √©quivalent.

Le polygone $R$ et ses transform√©s par le groupe fuchsien forment une figure qui, quand $y$ varie d’une mani√®re continue, se d√©forme aussi d’une mani√®re continue, mais en restant toujours hom√©omorphe √† elle-m√™me. Soit alors $y_0$ une valeur initiale de $y$, $R_0$ le polygone $R$ correspondant, un point $M_0$ du plan de $R_0$ ; nous pouvons faire correspondre au point $M_0$ un point $M$ du plan de $R$, de telle fa√ßon que les coordonn√©es de $M$ soient des fonctions continues et bi-uniformes de celles de $M_0$ ; que $M$ soit en un sommet ou sur un c√īt√© de $R$, si $M_0$ est en un sommet ou sur un c√īt√© de $R_0$ ; que $M$ et $M'$ soient congruents si $M_0$ et $M_0'$ sont congruents.

Nous pourrons ensuite faire correspondre au point $M$ deux variables auxiliaires $\xi$ et $\eta$ qui ne seront autre chose que les coordonnées de $M_0$. Dans ces conditions, le groupe fuchsien sera dérivé de $2p$ substitutions

$$S_1,S_2,\ldots, S_{2p},$$

telles que $S_k$ change $\xi$ et $\eta$ en $\phi_k(\xi,\eta), \psi_k(\xi,\eta)$, les fonctions $\phi_k$ et $\psi_k$ étant indépendantes de $y$.

Quand $y$ tourne autour du point singulier $A_i$, $R$ se change en un polygone √©quivalent $R_1$ ; il en r√©sulte que $\xi$ et $\eta$ se changent en

$$\theta_i(\xi,\eta),\ \ \theta_i'(\xi,\eta),$$

$\theta_i$ et $\theta_i'$ √©tant des fonctions bi-uniformes et continues de $\xi$ et $\eta$, telles que, quand le point $\zeta,\eta$ est en un sommet ou sur un c√īt√© de $R_0$, le point $\theta_i,\theta_i'$ est en un sommet ou sur un c√īt√© du polygone $R_1^0$ analogue √† $R_i$ et √©quivalent √† $R_0$.

Envisageons maintenant un second groupe fuchsien que j’appellerai $\Gamma$, de telle fa√ßon que $y$ soit une fonction fuchsienne de la variable auxiliaire $\zeta+i\zeta'$ admettant ce groupe $\Gamma$. Le polygone fuchsien $P$ correspondant sera de la deuxi√®me famille (c’est-√†-dire qu’il aura tous ses sommets sur le cercle fondamental et tous ses angles nuls) et de genre 0. Ses diff√©rents sommets correspondront aux valeurs $A_1,A_2,\ldots,A_q$ de la variable $y$.

Aux $q$ points singuliers $A_1,A_2,\ldots,A_q$ correspondront les $q$ substitutions

$$\Sigma_1,\Sigma_2,\ldots,\Sigma_q,$$

qui engendreront le groupe $\Gamma$ ; et la substitution $\Sigma_i$ changera $\zeta$ et $\zeta'$ en

$$\chi_i(\zeta,\zeta'), \chi_{i}'(\zeta,\zeta').$$

Il r√©sulte de l√† qu’on retombera sur le m√™me point de la vari√©t√© $V$ quand les quatre variables $\xi,\eta,\zeta,\zeta'$ subiront une des substitutions du groupe $G$ engendr√© par les $2p+q$ substitutions qui changent ces variables en

$\phi_k(\xi,\eta),\ \psi_k(\xi,\eta),\ \zeta,\ \zeta'$ $(k=1,2,\ldots,2p)$ ;
$\theta_i(\xi,\eta),\ \theta'_i(\xi,\eta),\ \chi_i(\zeta,\zeta'),\ \chi_i'(\zeta,\zeta')$ $(i=1,2,\ldots,q)$.

Les $2p$ premi√®res de ces substitutions engendrent un groupe $G'$ (qui ne sera autre que le groupe fuchsien appliqu√© √† $\xi$ et √† $\eta$, les deux variables $\zeta$ et $\zeta'$ [2] demeurant inalt√©r√©es). Ce groupe fuchsien √©tant permutable aux substitutions $\Sigma_i$, on conclurait, comme plus haut, que $G'$ est un sous-groupe invariant de $G$.

Ce groupe peut √™tre regard√© [3] comme le groupe fondamental de la vari√©t√© $V$, pourvu que l’on suppose, comme nous l’avons fait, que $y$ est assujetti √† ne pas p√©n√©trer dans les cercles de garde.

En effet, soit $N$ le point de l’espace √† quatre dimensions dont les coordonn√©es sont $\xi,\eta,\zeta,\zeta'$. A chaque point $N$ correspondra un point de $V$, mais √† chaque point de $V$ correspondront une infinit√© de points de $N$ ; je dirais que ces points sont congruents entre eux.

D’apr√®s les d√©finitions donn√©es dans l’Analysis situs (voir ici √† chaque substitution du groupe fondamental de $V$ correspondra un countour ferm√© $K$ trac√© sur $V$, le point initial du contour √©tant un certain point fixe choisi une fois pour toutes sur $V$ (c’est le point que j’appelais $M_0$ dans l’Analysis situs). Soit $N_0$ l’un des points $N$ correspondant √† ce point fixe de $V$ ; √† notre contour ferm√© $K$ correspondra dans l’espace $(\xi,\ \eta,\ \zeta,\ \zeta')$ une ligne $N_0BN_0'$ allant du point $N_0$ √† un point congruent $N_0'$.

Il est clair ensuite que deux lignes $N_0BN_0'$, $N_0CN_0'$ ayant mêmes extrémités conduiront à une même substitution du groupe fondamental. Il suffit pour cela de faire voir que le contour fermé $N_0BN_0'CN_0$ limite une aire, car alors le contour fermé correspondant sur $V$ limitera aussi une aire et pourra se réduire à un point par déformation continue.

Il suffit donc de montrer que la r√©gion de l’espace √† quatre dimensions o√Ļ peut se mouvoir le point $N$ est simplement connexe. Quelle est cette r√©gion ? D’abord le point $\xi,\ \eta$ peut parcourir tout le cercle fondamental, qui est une aire simplement connexe. Quant au point $\zeta,\ \zeta'$, il peut parcourir le polygone $P$ et ses transform√©s par le groupe fuchsien $\Gamma$. Il pourrait donc parcourir aussi le cercle fondamental tout entier, s’il n’y avait lieu de tenir compte de l’existence des cercles de garde. Comme $y$ ne peut p√©n√©trer dans ces cercles de garde, il faut retrancher du polygone $P$ de petites r√©gions dans le voisinage de chaque sommet, de m√™me pour ses transform√©s. Il faudra donc retrancher du cercle fondamental une infinit√© de petits cercles, tous ext√©rieurs les uns aux autres et tous tangents au cercle fondamental. L’aire restante n’en √©tant pas moins simplement connexe, la r√©gion o√Ļ peut se mouvoir le point $(\xi,\ \eta,\ \zeta,\ \zeta')$ c’est-√†-dire le point $N$, est bien simplement connexe. C. Q. F. D.

Ainsi, √† un point $N_0'$ (ou, si l’on veut, √† la substitution du groupe $G$ qui change $N_0$ en $N_0'$) correspond une substitution du groupe fondamental, et une seule. Il r√©sulte de l√† que le groupe fondamental est isomorphe √† $G$ ; mais nous ne savons pas encore si l’isomorphisme n’est pas m√©ri√©drique.

C’est ce qui arriverait s’il y avait des points $N_0'$ (autres que $N_0$) tels que la substitution correspondante du groupe fondamental se r√©duise √† la substitution identique, c’est-√†-dire tels que le contour ferm√© trac√© sur $V$ et correspondant √† la ligne $N_0BN_0'$ limite une aire et puisse se r√©duire √† un point par d√©formation continue.

Nous devons donc rechercher si, quand on d√©crit sur $V$ un contour ferm√© infiniment petit, il peut arriver que le point $N$ subisse une substitution de $G$ ne se r√©duisant pas √† la substitution identique. Quand on d√©crira sur $V$ un contour infiniment petit, la variable $y$ d√©crira aussi dans son plan un contour infiniment petit. Ce contour ne pourra entourer l’un des points singuliers $A_i$, puisque chacun de ces points singuliers est prot√©g√© par un cercle de garde, tr√®s petit, mais fini, o√Ļ $y$ ne peut p√©n√©trer. Nous pourrons alors, en faisant subir √† notre contour ferm√© une d√©formation infiniment petite, nous arranger pour que, $y$ restant constant tout le long du contour, la variable $x$ d√©crive dans son plan un contour ferm√© infiniment petit. Si ce contour n’entoure aucun des points singuliers $x_k$, le point $N$ dont les coordonn√©es sont $\xi,\ \eta,\ \zeta,\ \zeta'$ revient √† sa valeur primitive, et il n’a pas subi une substitution de $G$ autre que la substitution identique. Si le contour entoure un point singulier, et un seul, la variable $z$ change de signe et le cycle n’est pas ferm√© sur $V$. Enfin, il ne peut arriver que le contour entoure deux points singuliers, puisqu’il est infiniment petit, que deux points singuliers ne peuvent √™tre infiniment voisins que quand $y$ est pr√®s d’un des points $A_i$, et que nous ne pouvons approcher de ces points $A_i$ √† cause des cercles de garde.

En r√©sum√©, quand on d√©crira sur $V$ un cycle ferm√©, la substitution subie par $N$ se r√©duira toujours √† la substitution identique. Donc l’isomorphisme de $G$ et du groupe fondamental est holo√©drique. En d’autres termes, puisque le groupe fondamental n’est d√©fini que par sa forme, le groupe n’est autre chose que $G$.

On voit quel r√īle jouent les cercles de garde dans le raisonnement qui pr√©c√©de. [4] Supprimons maintenant ces cercles de garde et supposons que $x$ et $y$ puissent prendre des valeurs complexes quelconques, et que $V$ soit, par cons√©quent, la vari√©t√© d√©finie par l’√©quation (1).

D’abord, le groupe fondamental sera toujours isomorphe √† $G$ ; je n’ai rien √† changer √† cette partie du raisonnement. Mais il reste √† savoir si cet isomorphisme n’est pas m√©ri√©drique, et, pour le raconna√ģtre, je vais, comme plus haut, examiner ce qui se passe quand on d√©crit sur $V$ un cycle ferm√© infiniment petit.

Si, quand on d√©crit ce cycle, $y$ ne tourne pas autour d’un point singulier $A_i$ ou ne reste pas infiniment voisin de $A_i$, les raisonnements pr√©c√©dents s’appliqueront encore et la substitution subie par $N$ se r√©duira √† la substitution identique. Supposons maintenant que $y$ d√©crive un cercle ferm√© tr√®s petit autour de $A_i$. Alors $\zeta$ et $\zeta'$ se changeront en $\chi_i$ et $\chi_i'$ et $N$ subira soit la substitution $(\theta_i,\ \theta_i',\ \chi_i,\ \chi_i')$, que j’appellerai, pour abr√©ger, $T_i$, soit cette m√™me substitution suivie d’une substitution du groupe $G'$.

Précisons davantage. Quand on décrit le cycle, le point $x$ décrit dans son plan un contour fermé infiniment petit. En même temps, les points

$$x_0,\quad x_1,\quad x_2,\quad \dots,\quad x_{2p+1},$$

par suite des variations de $y$, d√©criront des courbes tr√®s petites. Deux de ces points, que j’appellerai $x_a$ et $x_b$, sont tr√®s voisins l’un de l’autre quand $y$ est voisin de $A_i$. Les autres points $x_k$ d√©criront des contours ferm√©s quand $y$ tournera autour de $A_i$. Quant √† $x_a$ et $x_b$, il pourra arriver qu’ils s’√©changent, et alors ils d√©criront chacun un arc tr√®s petit, l’ensemble de ces deux arcs constituant une petite courbe ferm√©e. Ou bien ils ne s’√©changeront pas, de sorte que chacun d’eux d√©crira une courbe ferm√©e.

Si $x$ ne tourne autour d’aucun des points singuliers $x_k$, le point $N$ subira la substitution $T_i$, √† laquelle devra par cons√©quent correspondre, dans le groupe fondamental, la substitution identique.

Si $x$ tourne autour d’un point $x_k$ autre que $x_a$ et $x_b$, $z$ change de signe et le cycle n’est pas ferm√© ; ce cas doit donc √™tre exclu.

Si $x$ tourne autour des points $x_a$ et $x_b$, la somme des arguments de $x-x_a$ et $x-x_b$ augmente de $2\pi$ ou de $4\pi$. Le premier cas doit √™tre exclu parce que $z$ changerait de signe ; examinons le second.

Reprenons le polygone fuchsien $R$ et les deux polygones partiels $R'$ et $R''$. Au point $x_a$ correspondra sur $R'$ un certain point $u_a$ qui sera le milieu de l’un des c√īt√©s (au point de vue non-euclidien). Soit $s_a$ la substitution qui change un point $u$ du plan de $R$ en un point sym√©trique de $u$ par rapport √† $u_a$ (au point de vue non-euclidien).

Soit $u_a'$ un point congruent de $u_a$, transform√© de $u_a$ par une substitution $S$ du groupe fuchsien ; et soit $s_a'$ une substitution qui change un point en son sym√©trique par rapport √† $u_a'$. On aura √©videmment

$$s_a'=S^{-1} s_a S.$$

Consid√©rons maintenant les diff√©rents points du plan de $R$ qui correspondent √† $x_b$ ; parmi ces points, je distinguepai cdl}i qui tend vers $u_a$ quand $y$ tend vers $A_i$ sans franchir les coupures $OA$ ; je l’appellerai $u_b$. Je d√©signerai par $u_b'$ le transform√© de $u_b$ par $S$. Je d√©finirai $s_b$ et $s_b'$ par rapport √† $u_b$ et $u_b'$ comme $s_a$ et $s_a'$ le sont par rapport √† $u_a$ et $u_a'$.

Il est clair que

$$s_a^2=s_b^2={s_a'}^2={s_b'}^2=1,$$

que $s_a s_b$ et $s_b s_a$ appartiennent au groupe fuchsien, que

$$s_b'=S^{-1} s_b S.$$

D’ailleurs, $s_a s_b$ et $s_b s_a$ sont inverses l’une de l’autre.

Cela posé, quand $x$ aura décrit son contour autour de $x_a$ et $x_b$, le point $\xi,\ \eta$ aura subi la substitution $s_a s_b$ (ou la substitution $s_b s_a$, selon le sens dans lequel le contour aura été décrit) ou, plus généralement, une des substitutions du groupe fuchsien.

Le point $N$ aura donc subi la substitution $T_i$ suivie d’une des substitutions $S'$ de $G'$, ou, ce qui revient au m√™me, d’une substitution $S''$ de $G'$ suivie de $T_i$.

A la substitution $T_iS'=T''T_i$ du groupe $G$ correspondra encore dans le groupe fondamental la substitution identique.

Comme nous venons de voir qu’√† $T_i$ correspondait d√©j√† la substitution identique, nous devons conclure qu’√† $S'$ et $S''$ correspondra √©galement la substitution identique.

Il peut arriver encore que, quand on d√©crit le cycle ferm√© sur $V$, $y$ ne tourne pas autours de $A_i$, mais reste tr√®s voisin de $A_i$ ; dans ce cas, $\zeta$ et $\zeta'$ reviendront √† leurs valeurs primitives ; en m√™me temps, $x$ d√©crira dans son plan un contour ferm√© ; on pourra supposer que ce contour entoure les deux points singuliers $x_a$ et $x_b$, puisque, quand $y$ est voisin de $A_i$, ces deux points $x_a$ et $x_b$ sont voisins l’un de l’autre. Alors le point $u$ subit une substitution du groupe fuchsien et le point $N$ subit une substitution $S'''$ de $G'$ √† laquelle devra encore correspondre dans le groupe fondamental la substitution identique.

Ainsi, si nous reprenons notre groupe $G$ qui est d√©riv√© du sous-groupe $G'$ et des substitutions $T_i$, nous voyons qu’√† toutes les substitutions $T_i$ et √† certaines substitutions de $G'$ correspond la substitution identique. Donc le groupe fondamental sera isomorphe √† $G'$ (et, par cons√©quent, au groupe fuchsien), pusqu’√† toutes les $T_i$ correspond la substitution identique, et cet isomorphisme sera, en g√©n√©ral, m√©ri√©drique, parce qu√† certaines substitutions de $G'$ correspondra, en g√©n√©ral, la substitution identique.

Avant d’aller plus loin, une distinction est n√©cessaire. Il peut arriver que les points singuliers $x_a$ et $x_b$ s’√©changent quand $y$ tourne autour de $A_i$, ou bien qu’ils ne s’√©changent pas. Dans le premier cas, il n’y a pas de difficult√© : la partie de la vari√©t√© (1) voisine du point $y=A_i$, $x=x_a=x_b$ est assimilable √† la partie de la vari√©t√©

$$z^2=y-x^2$$

voisine de l’origine, et tout cycle ferm√© qui reste tr√®s voisin de ce point est r√©ductible √† un point de telle fa√ßon que la substitution correspondante du groupe fondamental ne peut √™tre que la substitution identique. Dans ces cas, √† $T_i$, √† $S'$, √† $S''$ correspondra la substitution identique, ainsi que nous venons de l’expliquer.

Dans le second cas, la surface (1) présente un point conique et la portion de la variété (1) voisine de $y=A_i$, $x=x_a=x_b$ est assimilable à la partie de la variété

$$z^2=y^2-x^2$$

voisine de l’origine.

Alors deux conventions √©galement l√©gitimes peuvent √™tre faites : supposons qu’un contour ferm√© trac√© sur $V$ puisse se r√©duire √† un point, mais en franchissant le point conique, et ne le puisse pas autrement. On peut admettre que la substitution correspondante du groupe fondamental est encore la substitution identique, ou, en d’autres termes, on peut traiter le point conique comme un point ordinaire de la vari√©t√©. Dans ce cas, encore √† $T_i$, $S'$ et $S''$ correspondra la substitution identique.

Ou bien on peut faire la convention contraire et traiter le point conique comme un point singulier qu’il est interdit [5] de franchir. Dans ce cas, √† $T_i$ correspondra encore la substitution identique, mais il n’en sera plus de m√™me pour $S'''$. On aura d’ailleurs toujours $S''\equiv S'''$.

Voici maintenant la question qui se pose. M. Picard a d√©montr√© (cf. Th√©orie des fonctions alg√©briques de deux variables, t. I, p. 85 et suiv.) que, si une surface alg√©brique est la plus g√©n√©rale de son degr√©, les cycles lin√©aires peuvent √™tre r√©duits √† des points de telle fa√ßon que le nombre de Betti $P_1$ est √©gal √† $1$.

Il ne s’ensuit pas imm√©diatement que le groupe fondamental se r√©duise √† la substitution identique. En effet, M. Picard a d√©montr√© que tout cycle lin√©aire est homologue √† z√©ro, et, pour d√©montrer que le groupe fondamental se r√©duit √† la substitution identique, il faudrait faire voir que tout cycle lin√©aire est √©quivalent √† z√©ro. Pour la diff√©rence entre les homologies et les √©quivalences, voir Analysis situs, paragraphe 12 (ici).

Il est donc n√©cessaire de revenir sur la question √† ce nouveau point de vue. Voyons d’abord le cas o√Ļ $p=1$, c’est-√†-dire o√Ļ notre polygone fuchsien $R$ se r√©duit √† un parall√©logramme. Alors toutes les substitutions de $G'$ et, par cons√©quent, toutes celles du groupe fondamental, sont permutables entre elles.

Le groupe $G'$ d√©rive de deux substitutions que j’appelle $s$ et $s_1$. [6] Soit alors un cycle quelconque ; √† ce cycle correspondra une substitution de $G'$ qui pourra s’√©crire, par exemple,

$$s^\alpha s_1^{\alpha_1} s_\beta s_1^{\beta_1} s^\gamma s_1^{\gamma_1}.$$

Les substitutions de $G'$ √©tant permutables, elle pourra s’√©crire √©galement

$$s^{\alpha + \beta + \gamma} s_1^{\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1}.$$

Si, comme l’a d√©montr√© M. Picard, tout cycle est homologue √† z√©ro, cela veut dire que, parmi les cycles possibles, il y en a deux correspondant aux substitutions de $G'$

$$s^a s_1^b,\qquad s^c s_1^d$$

(o√Ļ $a$, $b$, $c$, $d$ sont quatre entiers dont le d√©terminant n’est pas nul) et qui sont susceptibles de se r√©duire √† un point. Il arriverait alors qu’√† $s^a s_1^b$ et √† $s^c s_1^d$ correspondra dans le groupe fondamental la substitution identique, ce que j’√©crirai

$$s^a s_1^b \equiv 1,\qquad s^c s_1^d \equiv 1.$$

Nous en conclurons, en nous rappelant que $s$ et $s_1$ sont permutables,

$$s^\epsilon \equiv 1,\qquad s_1^\epsilon \equiv 1,\qquad \epsilon=ad - bc.$$

On voit que le groupe fondamental ne pourrait, en tout cas, compredre qu’un nombre fini de substitutions, au plus $\epsilon^2$.

Mais on peut aller plus loin, même dans le cas de $p>1$.

Supposons, pour fixer les idées, que $p=2$ et appelons, pour abréger

$$a,\quad b,\quad c,\quad d,\quad e,\quad f$$

les six points singuliers du plan des $x$ que nous appelions jusqu’ici $x_0,\dots,x_6$. [7]

Soit d’abord $y=0$ ; joignons le point $x=0$ aux points $a$, $b$, $c$, $d$, $d$, $f$ par des coupures rectilignes, de telle fa√ßon qu’en tournant autour du point $O$ on rencontre ces coupures dans l’ordre [8]

$$Oa,\quad Ob,\quad Oc,\quad Od,\quad Oe,\quad Of.$$

Faisons maintenant varier $y$ d’une mani√®re continue, mais sans franchir aucune des coupures $OA_i$ ; en m√™me temps les points $a,b,\,\dots$, se d√©placeront d’une mani√®re continue, mais sans s’√©changer ou sans tourner les uns autour des autres ; les coupures $Oa,\ \dots$, se d√©placeront et m√™me cesseront d’√™tre rectilignes, mais on les rencontrera toujours dans le m√™me ordre en tournant autour de $O$.

Quand on franchira la coupure $Oa$, la variable $u$ (argument des fonctions fuchsiennes) subira une transformation que j’appellerai $a$ et qui sera une sorte de sym√©trie analogue √† la substitution $s_a$ d√©finie plus haut (sym√©trie par rapport √† $u_a$).

Je d√©finirai, de m√™me, les transformations $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ ; il est clair qu’on aura

$a^2=b^2=c^2=d^2=e^2=f^2$ $=1$,
$abcdef$ $=1$,

et que ce sont l√† les seules relations qu’il y ait entre elles. Le groupe fuchsien sera form√© de toutes les combinaisons possibles de ces transformations prises en nombre pair.


Lorsque $y$ tend vers $A_i$, deux des points singuliers, $a$ et $d$, par exemple, se rapprochent l’un de l’autre ; quand $y$ tourne autour de $A_i$, ces deux points s’√©changeront (dans le cas g√©n√©ral o√Ļ le point $x=a$, $y=A_i$ n’est pas un point double de la surface, cas g√©n√©ral que nous examinerons d’abord).

Quand le point $y$ est voisin de $A_i$ (mais sans avoir franchi la coupure $OA_i$), les quatre coupures $Oa$, $Ob$, $Oc$, $Od$ pr√©sentent la disposition repr√©sent√©e en trait plein sur la figure 1 ; apr√®s que le point $y$ a d√©crit un contour autour de $OA_i$, les coupures $Oa$ et $Od$ se sont d√©form√©es et ont pris la forme repr√©sent√©e en trait pointill√© sur la figure. Elles se sont d’ailleurs permut√©es de telle fa√ßon que la coupure en trait plain $Oma$ est devenue la coupure en trait pointill√© $Om'd$, tandis que la coupure $Ond$ est devenue $On'd$.

Tra√ßons maintenant dans le plan un contour ferm√© quelconque, partant d’un point fixe $M_0$ quelconque du plan ; si ce contour coupe successivement les coupures $Oa$, $Oc$, $Oa$, $Ob$, $Of$, $Oe$, par exemple, il √©quivaudra √† la substitution $acabfe$.

Cela pos√©, consid√©rons un contour ferm√© coupant l’une des coupures

$$\tag{1} Oma,\quad Ob,\quad Oc,\quad Ond,\quad Oe,\quad Of, $$

et une seule ; quand $y$ aura tourn√© autour de $A_i$, il se transformera en un contour coupant une des coupures

$$\tag{2} Om'd,\quad Ob,\quad Oc,\quad On'a,\quad Oe,\quad Of, $$

et une seule.

Or, il est ais√© de voir sur la figure qu’un contour coupant l’une des coupures (2) coupera dans un certain ordre certaines des coupures (1b) et √©quivaudra, par cons√©quent, √† une certaine combinaison des substitutions $a$, $b$ et $c$.

Si nous supposons, par exemple, $M_0$ ext√©rieur au contour $Om'dna$. [9] Le cycle qui coupe :

$Om'd$ coupera $Ond$ et équivaudra à $d$
$Ob$ >> $Ond$, $Oma$, $Ob$, $Oma$ et $Ond$ >> $dabad$,
$Oc$ >> $Ond$, $Oma$, $Oc$, $Oma$ et $Ond$ >> $dacad$,
$Om'a$ >> $Ond$, $Oma$ et $Ond$ >> $dad$,
$Oe$ >> $Oe$ >> $e$,
$Of$ >> $Of$ >> $f$.

Par conséquent, la transformation $T_i$ changera les substitutions

$$\tag{3} a,\quad b,\quad c,\quad d,\quad e,\quad f $$

respectivement en

$$\tag{4} d,\quad dabad,\quad dacad,\quad dad,\quad e,\quad f. $$

Nous avons, plus haut, écrit la relation

$$T_iS'=S''T_i,$$

et montr√© qu’aux deux substitutions $S'$ et $S''$ de $G'$ doit correspondre la m√™me substitution du groupe fondamental, ce que nous √©crirons :

$$\tag{5} S'\equiv S''. $$

Comme $S'$ est une certaine combinaison des substitutions (3) en nombre pair et que $S''$ est la combinaison correspondante des substitutions (4), il suffit, pour que l’√©quivalence (5) ait lieu, que l’on ait

$$a \equiv d,\qquad b \equiv dabad,\qquad c \equiv dacad,\qquad d \equiv dad.$$

Or, toutes ces équivalences se réduisent à

$$ad\equiv 1$$

ou, ce qui revient au même, à $a\equiv d$.

Nous avons vu ensuite qu’√† la substitution $S'''$ de $G'$ doit correspondre la substitution identique du groupe fondamental, ce que j’√©cris

$$S'''\equiv 1.$$

On voit ici que $S'''$ n’est autre chose que $ad$, de sorte que nous retombons toujours sur la m√™me √©quivalence

$$ad \equiv 1$$

qui est (avec $T_i \equiv 1$) la seule que l’on puisse d√©duire de la consid√©ration du point singulier $A_i$.

Il nous reste √† examiner le cas o√Ļ le point

$$x=a,\qquad y=A_i$$

est un point conique de la surface $z=F(x,y)$. Refaisons une figure analogue √† la figure 1. Quand le point $y$ tournera autour de $A_i$, les coupures en trait plein $Oma$ et $Ond$ se changeront dans les coupures $Om'a$ et $On'd$ en trait pointill√© (fig2). En raisonnant comme tout √† l’heure et consid√©rant les diff√©rents cycles qui partent du point $M_0$ et qui coupent une des coupures, et une seule, on voit que le cycle qui coupe

$Om'a$ coupera $Ond$, $Oma$ et $Ond$,
$Ob$ >> $Ond$, $Oma$, $Ond$, $Oma$, $Ob$, $Oma$, $Ond$, $Oma$, $Ond$,
$Oc$ >> $Ond$, $Oma$, $Ond$, $Oma$, $Oc$, $Oma$, $Ond$, $Oma$, $Ond$,
$On'd$ >> $Ond$, $Oma$, $Ond$, $Oma$, $Ond$,
$Oe$ >> $Oe$
$Of$ >> $Of$.

Ces cycles équivaudront donc respectivement aux combinaisons

$$dad,\quad dadabadad, \quad dadacadad, \quad dadad,\quad e,\ f,$$

c’est-√†-dire que $T_i$ transformera les substitutions

$$a,\quad b,\quad c,\quad d,\quad e,\quad f$$

dans les substitutions

$$dad,\quad dadabadad, \quad dadacadad, \quad, dadad,\quad e,\quad f.$$

Si l’on traite le point conique comme un point ordinaire de la vari√©t√©, on aura encore

$$S' \equiv S'',\quad S'''\equiv 1.$$

La premi√®re condition entra√ģne

$$\tag{6} a \equiv dad,\quad b \equiv dadabadad,\quad c \equiv dadacadad, \quad d \equiv dadad. $$

La seconde nous donne simplement

$$ad \equiv 1,$$

ce qui entra√ģne d’ailleurs les conditions (6).


Consid√©rons maintenant le point conique comme un point qu’il est interdit de franchir. Alors nous aurons encore $S' \equiv S''$ et, par cons√©quent, les conditions (6) mais nous n’aurons plus $S''' \equiv 1$, c’est-√†-dire $ad \equiv 1$.

Les conditions (6) se ramènent à une seule

$$(ad)^2 \equiv 1.$$

Ainsi, si nous nous interdisons de franchir le point conique, nous n’aurons pas $ad \equiv 1$, mais nous aurons $(ad)^2 \equiv 1$.

Ainsi, le cycle qui tourne autour de deux points $a$ et $d$ n’est pas la fronti√®re d’une vari√©t√© √† deux dimensions faisant partie de $V$, tandis que ce cycle pris deux fois constitue la fronti√®re d’une vari√©t√© √† deux dimensions faisant partie de $V$, si du moins l’on suppose que toutes ces vari√©t√©s √† une ou √† deux dimensions ne s’√©cartent pas beaucoup du point conique.

Il est ais√© de rapprocher ceci d’un fait connu. Nous avons d√©j√† fait remarquer que la portion de $V$ voisine du point conique est hom√©omorphe √† la portion de la vari√©t√© $z^2 = x^2-y^2$ ou de la vari√©t√© $z^2 = xy$ voisine de l’origine.

Appelons donc $W$ la vari√©t√© √† quatre dimensions $z^2 = xy$, dont on suppose que l’on a exclu l’origine qui est un point conique. Ce qui pr√©c√®de nous enseigne qu’il y a sur $W$ un cycle ferm√© $C$ √† une dimension tel que l’on n’ait pas l’√©quivalence

$$C \equiv 0,$$

mais que l’on ait l’√©quivalence

$$2C \equiv 0.$$

Or, considérons la variété à trois dimensions

$$z^2 = xy,\qquad |x^2| + |y^2| = 1$$

que j’appelle $W'$. C’est la vari√©t√© envisag√©e par M. Heegaard [cf. Premier Suppl√©ment √† l’Analysis situs (Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, t XIII, 1899)].

A tout point, $x,y,z$ de $W$ correspond un point

$$\frac{x}{\sqrt{|x^2| + |y^2|}},\quad \frac{y}{\sqrt{|x^2| + |y^2|}},\quad \frac{z}{\sqrt{|x^2| + |y^2|}}.$$

Si le point de $W$ d√©crit un cycle $C$, le point correspondant de $W'$ d√©crira un cycle $C'$. Or, il est √©vident que si sur $W$ on a $C \equiv 0$, sur $W'$ on aura $C' \equiv 0$, et r√©ciproquement. (Je rappelle que l’√©quivalence $C \equiv 0$ signifie qu’il existe sur $W$ une vari√©t√© √† deux dimensions dont $C$ est la fronti√®re compl√®te).

Si donc sur $W$ on a $2C \equiv 0$ sans avoir $C \equiv 0$, il y aura sur $W'$ un cycle $C$ tel que $2C' \equiv 0$ sans que $C' \equiv 0$.

Or, on se rappelle que l’existence d’un pareil cycle $C'$ est une des propri√©t√©s caract√©ristique de la vari√©t√© de M. Heegaard.

Rien n’est plus facile maintenant que de d√©terminer le groupe fondamental. Ce groupe est m√©ri√©driquement isomorphe au groupe fuchsien, lequel d√©rive de toutes les combinaisons en nombre pair des substitutions $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, lesquelles sont suppos√©es li√©es par les relations

$$a^2 = b^2 = c^2 = d^2 = e^2 = f^2 = 1, \qquad abcdef = 1.$$

Mais si les deux points $a$ et $d$ peuvent s’√©changer quand $y$ tourne autour de $A_i$, on aura $ad \equiv 1$, d’o√Ļ

$$a \equiv d.$$

Je dis que la m√™me relation subsistera si $a$ se change en $d$ quand $y$ d√©crit un cycle ferm√© quelconque, enveloppant, par exemple, non plus un seul point singulier, mais deux points singuliers $A_i$ et $A_k$. Si, en effet, par exemple, $a$ s’√©change avec $b$ quand $y$ tourne autour de $A_i$ et $b$ avec $d$ quand $y$ tourne autour de $A_k$ (de telle fa√ßon que $a$ se change en $d$ quand $y$ d√©crit le contour qui enveloppe √† la fois ces deux points singuliers), on aura

$$a \equiv b, \qquad b \equiv d$$

et, par suite,

$$a \equiv d.$$

C. Q. F. D.

Si donc les points singuliers $a$, $b$, $c$, $d$ sont susceptibles de s’√©changer entre eux, on aura

$$a \equiv b \equiv c \equiv d.$$

Si le polynome $F(x,y)$ est ind√©composable, les racines de l’√©quation

$$F(x,y) = 0$$

(consid√©r√©e comme √©quation en $x$) seront toutes susceptibles de s’√©changer entre elles quand on fera varier $y$ d’une fa√ßon quelconque.

Nos $2p+2$ points singuliers (qui sont au nombre de six, $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ si $p=2$) s’√©changeront donc tous les uns avec les autres et l’on aura

$$a \equiv b \equiv c \equiv d \equiv e \equiv f.$$

Une substitution quelconque du groupe fondamental, se r√©duisant √† une combinaison en nombre pair de $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, se r√©duira √† une puissance paire de $a$, c’est-√†-dire √† la substitution identique.

Ainsi, si le polynome $F$ est indécomposable, le groupe fondamental se réduit à une seule substitution qui est la substitution identique.

Si le polynome $F$ se d√©compose en deux facteurs $F = F_1F_2$, nous devrons distinguer deux sortes de points singuliers : ceux qui satisfont √† l’√©quation $F_1 = 0$ et ceux qui satisfont √† $F_2 = 0$ ; supposons, par exemple, que $a$, $b$, $c$, $d$ satisfassent √† $F_1 = 0$, $e$ et $f$ √† $F_2 = 0$ ; on aura alors

$$a \equiv b \equiv c \equiv d, \qquad e \equiv f.$$

On n’aura pas $a \equiv e$ (si les points coniques ne sont pas regard√©s comme des points ordinairs) ; mais on aura $(ae)^2 \equiv 1$, de sorte que le groupe fondamental comprendra seulement deux substitutions

$$1,\quad ae.$$

Il faut voir encore si ce nombre n’est pas r√©duit par la consid√©ration de la relation

$$\tag{7} abcdef = 1. $$


Observons que l’on doit toujours r√©duire le degr√© de $F$ √† √™tre pair (au besoin par une transformation homographique), puisque le nombre des points singuliers est $2p+2$. Nous devons alors distinguer le cas o√Ļ $F_1$ et $F_2$ sont tous deux de degr√© pair : alors la relation (7) se r√©duit √† une identit√© et le groupe fondamental n’est pas r√©duit ; et le cas o√Ļ $F_1$ et $F_2$ sont tous deux de degr√© impair : alors la relation (7) se r√©duit √† $ae \equiv 1$ et le groupe fondamental ne comprend plus qu’une substitution.

Si $F$ se d√©compose en trois facteurs $F = F_1F_2F_3$, que $a$ soit l’une des racines de $F_1 = 0$, $b$ l’une de celles de $F_2 = 0$, $c$ l’une de celles de $F_3 = 0$, on aura

$$ a^2 \equiv b^2 \equiv c^2 \equiv 1,\qquad (ab)^2 \equiv (bc)^2 \equiv (ac)^2 \equiv 1,$$

ce qui montre que le groupe fondamental se réduit à quatre substitutions

$$1, \quad ab, \quad bc, \quad ac,$$

ce nombre pouvant encore être réduit, à cause de la relation (7), si deux des facteurs sont de degré impair.

Si, enfin, $F$ se d√©compose en $n$ facteurs $F = F_1F_2\dots F_n$ ; si $a_i$ est l’une des racines de $F_i=0$ ; on aura

$$\tag{8} a_i ^2 \equiv 1,\qquad (a_ia_k)^2 \equiv 1\qquad (i,k = 1,\,2,\,\dots,\, n). $$

Soit alors $S$ une substitution quelconque du groupe fondamental ; ce sera le produit d’un nombre pair de substitutions $a_i$. Mais des relations (8) on peut d√©duire

$$a_ia_k \equiv a_ka_i.$$

On peut donc permuter les facteurs de $S$ et l’√©crire sous la forme

$$a_1^{\epsilon_1}a_2^{\epsilon_2}\dots a_n^{\epsilon_n} \quad (\epsilon_1 + \epsilon_2 + \dots + \epsilon_n \equiv 0,\ \mathrm{mod}\ 2).$$

On peut ensuite, √† l’aide des relations (8), r√©duire les exposants $\epsilon$ √† $0$ ou √† $1$, de sorte que $S$ se r√©duira √† un produit de $k$ facteurs $a_1,\,a_2,\,\dots,\,a_n$, les $k$ facteurs √©tant differents et $k$ √©tant pair, l’ordre des facteurs √©tant d’ailleurs regard√© comme indiff√©rent. Il y a $2^{n-1}$ combinaisons possibles ; le groupe fondamental comprend donc $2^{n-1}$ substitutions ; mais ce nombre peut √™tre r√©duit de moiti√© par le moyen de la relation (7), si deux ou plusieurs facteurs sont de degr√© impair.


[1Sic. Orthographe constante chez Poincaré.

[2Coquille dans les Oeuvres.

[3Coquille dans les Oeuvres.

[4Coquille dans les Oeuvres.

[5Coquille dans les Oeuvres.

[6Coquille dans les Oeuvres.

[7Sic pour les six points numérotés de 0 à 6. En revanche, le point final ne manque que dans les Oeuvres.

[8Le point final est une virgule dans les Oeuvres.

[9Sic.