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Par les exemples

Dans l’« Analysis Situs », Poincaré crée une science nouvelle. Il s’agit d’étudier la topologie des variétés. Pour convaincre son lecteur de se plonger dans cette étude, Poincaré émaille, bien plus qu’à son habitude, son mémoire et les cinq compléments qui suivront d’exemples bien choisis. À l’instar du Maître, nous proposons ici une découverte de la topologie algébrique par l’étude d’exemples, principalement en dimension $2$ ou $3$.

Dans l’Introduction à l’Analysis Situs par les surfaces, on trouvera une série d’articles qui illustrent certains des grands thèmes de la topologie algébrique dans le cas particulier de la dimension $2$ :

Le groupe fondamental est une des inventions majeures de Poincaré. La rubrique suivante en illustre le calcul sur un certain nombre d’exemples importants :

La plupart des variétés que considèrent Poincaré sont de dimension 3. On peut d’ailleurs considérer Poincaré et Heegaard comme les fondateurs de la topologie de dimension 3. Il est donc naturel que nous leur consacrions une rubrique particulière :

Le plus beau des exemples de Poincaré est certainement celui avec lequel il conclut son cinquième complément. C’est une sphère d’homologie   et nous lui consacrons la rubrique :