Le revêtement universel est un bien bel objet, qu’il est très important de maîtriser. Dans ce site, on le trouve en deux présentations : celle-ci et celle-là. Dans la première, on parle de l’espace des chemins issus du point base, à homotopie près, à extrémités fixes. La première fois que Henri Paul a entendu parler de cette construction, il n’a pas compris grand-chose. Il lui semblait que l’espace des chemins était beaucoup trop gros pour être un revêtement de l’espace initial, en particulier localement homéomorphe à cet espace. C’est bien sûr la relation d’homotopie qui « fait maigrir » l’espace des chemins. Dans la présentation initiale de Poincaré, au lieu d’utiliser des chemins issus du point base, on considérait des chaînes de petites boules (simplement connexes) dont chacune interceptait la précédente, en partant du point base. Henri-Paul préfère cette approche qui lui semble plus concrète.

Ne pas se limiter à comprendre le revêtement universel du cercle. Au minimum, il faut avoir une image mentale claire du revêtement universel d’une surface compacte.

Pour voir comment un mathématicien peut « ressentir » un revêtement, voici la vidéo de William Thurston « Knots to Narnia », complètement vintage. Dans cette vidéo, c’est Thurston lui-même qui décrit les lacets. À ne pas rater !