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Cohomologie de De Rham

Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^3$ et $\vec X = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix}$ un champ de vecteurs sur $\mathbb{R}^3$. On a

$$\mathrm{div}\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\, \vec X\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial X_3}{\partial y} - \frac{\partial X_2}{\partial z}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial X_1}{\partial z} - \frac{\partial X_3}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial X_2}{\partial x} - \frac{\partial X_1}{\partial y}\right) = 0.$$

Autrement dit, le rotationnel d’un gradient est nul.

Il est d’usage courant d’utiliser une « réciproque » de cet énoncé : par exemple, une des équations de Maxwell en éléctromagnétisme affirme que la divergence d’un champ magnétique est nul ($\mathrm{div}\, \vec B = 0$) et on en « déduit » que le rotationnel « dérive d’un potentiel vecteur » : $\vec B = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec A$.

En réalité, cette réciproque n’est vraie qu’avec certaines hypothèses sur l’espace ambient. Par exemple elle est vraie pour $\mathbb{R}^3$ ; mais elle est fausse pour un ouvert quelconque : dans $\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$, par exemple, le champ de vecteurs radial $\displaystyle \vec X = \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}$ est de divergence nulle mais, son flux à travers la sphère de rayon $1$ étant non nul, il ne peut pas être un rotationnel.

La cohomologie de de Rham $\mathrm{H}_{\mathrm{dR}}^*$ est une théorie cohomologique (voir ici pour une présentation générale) rendant précisément compte de ces phénomènes. Ainsi, l’exemple précédent n’est qu’une manifestation de l’égalité $\mathrm{H}_{\mathrm{dR}}^2(\mathbb{R}^3\setminus\{0\}) = \mathbb{R} \neq 0$.

Nous commençons par survoler les définitions des objets de la cohomologie de de Rham. Ce n’est pas le lieu ici de développer entièrement cette théorie et nous demandons donc au lecteur une certaine familiarité avec les formes différentielles.

Enfin, nous présentons les propriétés les plus importantes de cette théorie : la fonctorialité et l’existence d’un produit naturel en cohomologie de de Rham. C’est en effet un avantage du point de vue formes différentielles sur le point de vue simplicial, que de rendre la notion de produit très claire. Enfin, nous présentons la suite exacte de Mayer-Vietoris dans le contexte de la cohomologie de de Rham.

Pour finir, nous prouvons le théorème de de Rham, à savoir que cette théorie cohomologique est la même que la cohomologie simpliciale.