Il faut bien savoir que l’existence de ce produit en cohomologie est un petit miracle.

Résumons l’histoire (postérieure à Poincaré). Dans un premier temps, la cohomologie de de Rham se développe. Elle calcule la cohomologie (singulière ou simpliciale, peu importe) avec des coefficients réels. Elle est évidemment munie du produit extérieur des formes différentielles, qui est associatif et commutatif (au sens gradué). Existe-t-il quelque chose d’analogue sur l’anneau des entiers ? Une multiplication commutative des cochaînes ? C’est le « problème des cochaînes commutatives » qui était une énigme pour les pères fondateurs de la topologie algébrique. Est-il possible de définir un complexe différentiel qui serait une algèbre extérieure libre munie d’une différentielle qui calculerait la cohomologie à coefficients entiers ?

La réponse est négative : ça n’existe pas. L’inexistence d’un tel objet est démontrée par ce qu’on appelle les « carrés de Steenrod », dont on ne parle pas dans ce site !

La réponse est cependant positive sur le corps des rationnels : on peut définir des « formes différentielles à coefficients rationnels » qui constituent une algèbre différentielle graduée commutative et qui calculent la cohomologie rationnelle. Tout cela est évoqué dans cet article.

Résumé : l’existence d’un produit commutatif (au sens gradué) sur la cohomologie entière d’un espace est un fait remarquable.