Cet article n’est pas difficile, mais il est TRÈS important. Lorsque le CW-complexe $X$ est connexe, le premier groupe d’homologie $H_1(X,{\mathbb Z})$ n’est rien d’autre que le groupe fondamental $\pi_1(X,x)$ rendu abélien. Dire qu’un lacet est homotope à un lacet constant, c’est dire qu’il borde un disque. Dire qu’il est homologue à 0, c’est dire qu’il borde une surface. Ce chapitre met tout cela en place.

Voici un exercice qui semble n’avoir rien à voir avec la topologie.

Le commutateur $[a,b]$ de deux éléments $a,b$ d’un groupe est par définition $aba^{-1}b^{-1}$. M. Culler a montré que le cube d’un commutateur est un produit de deux commutateurs :

$$ [a,b]^3= [aba^{-1},b^{-1}aba^{-2}][b^{-1}ab,b^2] $$

Vérifiez !

Cette magnifique identité algébrique est un fait topologique. Partez d’un tore troué, dont le bord est donc homologue à zéro. Montrez qu’il existe un revêtement à trois feuillets à bord connexe, dont le genre est 2. En déduire la formule. L’exercice est probablement trop difficile mais c’est un prétexte pour encourager le lecteur à aller lire :

• Christophe Bavard : Longueur stable des commutateurs. L’Enseignement Mathématique (2) 37 (1991), 109-150.