Henri Paul avait été demander à son professeur pourquoi les groupes d’homotopie d’ordres supérieurs sont commutatifs. Il obtint la réponse suivante :

Ben, bien sûr, puisque les sphères sont des co-H-espaces !

Pourriez-vous aider le jeune étudiant à comprendre cette réponse, pour le moins cryptique ?

Quelques exercices-indications quand même :

• Le groupe fondamental d’un groupe topologique est commutatif.

• Un H-espace est un « groupe topologique à homotopie près », i.e. un espace $X$ muni d’une application continue $m: X \times X \to X$ telle que les deux applications $(x_1,x_2,x_3) \in X^3 \mapsto m(m(x_1,x_2),x_3)$ et $(x_1,x_2,x_3) \in X^3 \mapsto m(x_1,m(x_2,x_3))$ sont homotopes. On suppose aussi qu’il existe un élément neutre $e\in X$, tel que $x\in X \mapsto m(x,e) \in X $ et $x\in X \mapsto m(e,x) \in X$ sont homotopes à l’identité. Montrer que le groupe fondamental d’un H-espace est commutatif.

• Si on collapse l’équateur d’une sphère ${\mathbb S}^n$, on obtient un bouquet de deux sphères ${\mathbb S}^n \to {\mathbb S}^n \vee {\mathbb S}^n$, c’est-à-dire que la sphère est munie d’une co-multiplication.

• Inventez la définition d’un co-H-espace, en renversant les flèches.

• Montrez que le professeur avait raison : les groupes d’homotopie d’ordre supérieurs sont commutatifs car les sphères sont des co-H-espaces.