C’est important, même si ce n’est pas difficile. Il faut bien assimiler cela. Si un groupe $G$ agit transitivement sur un ensemble $F$, et si $H\subset G$ désigne le stabilisateur d’un point, on peut identifier $F$ à $G/H$ et l’action de $G$ sur $F$ à l’action de $G$ sur $G/H$. Facile, très facile, mais… mérite d’être bien compris.

Un jour, un mathématicien célèbre (dont les initiales sont JPS) a expliqué à Henri Paul un très joli théorème du dix-neuvième siècle (de Jordan), très facile et très joli. Si $G$ et $H\subset G$ sont finis, il existe au moins un élément $g \in G$ dont l’action sur $F=G/H$ n’a pas de points fixes. Henri-Paul était fasciné. Voici la preuve. Pour chaque $g$, soit $N(g)$ le nombre de points fixes de $g$ agissant sur $G/H$. Calculons la somme des $N(g)$ sur tous les éléments de $G$. C’est aussi le nombre de couples $(g,f)$ d’éléments de $G\times F$ tels que $g.f=f$. Si on fixe un $f$, le nombre d’éléments de $G$ vérifiant $g.f=f$ est le cardinal de $H$. Ainsi la somme des $N(g)$ est égale à $card(H)card(G/H)= card(G)$. Autrement dit, le nombre moyen de points fixes, i.e. $(\sum_{g \in G} N(g))/ card(G) $ est égal à 1. En moyenne, une action transitive sur un ensemble fini a UN seul point fixe. La fin de la preuve est simple : puisque l’identité a beaucoup de points fixes et comme en moyenne il y a un point fixe, il faut bien qu’un élément n’ait pas de point fixe du tout. QED.