C’est l’occasion de réparer une injustice !

Presque tous les mathématiciens non francophones parlent de la caractéristique d’Euler et ne mentionnent pas Poincaré.

Il est vrai qu’Euler a écrit la formule $S+F= A+ 2$ reliant les nombres de sommets, faces et d’arêtes d’un polyèdre convexe. Certes ! Mais d’une part il n’était pas tout à fait le premier et, d’autre part, il n’avait pas compris que derrière cette formule se cachait un invariant qui existe en toutes dimensions et qu’il peut servir à distinguer des types d’homotopie. C’est Poincaré qui a compris cette généralité.

Deux anecdotes.

• Un jour, Henri Paul était chez Dennis Sullivan, l’un des topologues les plus importants du 20 ème siècle. Le téléphone sonne et Dennis répond à son fils, alors doctorant en mathématiques à Stanford. Après la conversation, Dennis était furieux :

  
  Tu sais ce que mon fils a osé me demander ? Il m’a dit "tu sais, papa, je vais t’expliquer quelque chose en maths, mais dis-moi d’abord, sais-tu ce qu’est la caractéristique d’Euler ?". Tu te rends compte, il a osé me demander si je sais ce qu’est la caractéristique d’Euler !

  
  Eh oui, la communication père-fils n’est jamais facile, même parmi les mathématiciens.

• Comme on le sait, Henri Poincaré n’a pas eu beaucoup de successeurs immédiats en France. Les français lui ont beaucoup reproché son manque de rigueur. C’était l’époque de la montée en puissance du groupe Bourbaki. Un mathématicien fut à la fois membre de Bourbaki et admirateur de Poincaré : Adrien Douady. Un jour, Henri Paul lui demanda quelle était selon lui l’intersection entre l’œuvre de Poincaré et celle de Bourbaki. Il répondit : « La caractéristique de Poincaré ». Si on passe d’un complexe différentiel à son homologie, la somme alternée des dimensions ne change pas. C’est probablement exagéré mais au moins on apprend que Bourbaki connaissait la « caractéristique de Poincaré » !