Il s’agit d’un magnifique exemple qui montre comment la géométrie complexe peut permettre de comprendre la géométrie réelle. On pense à une courbe algébrique réelle comme les points fixes de la conjugaison complexe agissant sur la courbe complexe. Cela peut paraître vraiment compliqué, mais ce n’est pas le cas !

Voici ce qu’écrit Coolidge dans un très joli livre (« The Geometry of the Complex Domain », Clarendon Press, 1924) sur la géométrie complexe :

« With the rise of algebra, the complex roots of real equations clamoured more and more insistently for recognition. »

Plus tard, Painlevé nous explique que la géométrie complexe n’est pas complexe :

« Il apparut que, entre deux vérités du domaine réel, le chemin le plus facile et le plus court passe bien souvent par le domaine complexe. »

Un géomètre algébrique célèbre faisait une conférence sur les variétés abéliennes complexes. A la fin de l’exposé quelqu’un lui demanda ce qui se passait pour les variétés abéliennes sur le corps des réels. Le conférencier parut surpris, et répondit, après un temps de réflexion :

« Désolé, je n’ai jamais réfléchi à la réalité ! »

Un conseil aux étudiants : n’oubliez pas la réalité !