Article technique dont on peut se passer en première lecture. En découpant les chaînes suffisamment, on ne change pas l’homologie. Si ce n’était pas le cas, on peut penser qu’il n’y aurait pas de théorie valable. Et si on continuait à découper « à l’infini », que resterait-il ? Des chaînes infiniment petites ? En effet, même si ça ne signifie pas grand chose… Et que seraient les cochaînes correspondantes ? Eh bien, les formes différentielles, tout simplement, et on retombe sur la cohomologie de de Rham. La théorie homologique « infinitésimale » correspondante s’appelle la « théorie de l’homologie des courants », inventée par Georges de Rham, qui est intrinsèquement locale, c’est-à-dire pour laquelle le théorème des petites chaînes est automatique.

Ce qui est problématique avec les cochaînes singulières, c’est que si on coupe un triangle en deux, la valeur de la cochaîne appliquée sur le triangle n’est pas la somme des deux valeurs. Ennuyeux… Cela entraîne toutes ces complications techniques.