Ce théorème est amplement utilisé par Poincaré sans même qu’il pense nécessaire de l’expliciter, et encore moins de le démontrer. Cela ne signifie pas qu’un étudiant puisse se passer de la preuve, mais les détails de cette preuve ne l’intéresseront peut-être pas. On considère ici des espaces $X$ qui sont union de deux morceaux $X_1,X_2$, d’intersection connexe. Le théorème affirme que le groupe fondamental de $X$ est obtenu à partir de ceux de $X_1$ et $X_2$, en n’oubliant pas que si un lacet est contenu dans l’intersection de $X_1$ et $X_2$, il ne faut pas le compter deux fois dans le groupe fondamental de $X$. C’est évident, mais… cela demande une preuve.

Ce « petit théorème qui ne paye pas de mine » a subi un lifting complet grâce à Bass et Serre, dans le livre de 1977 « Arbres, amalgames, SL2 » qui n’est pas évoqué ici, mais dont Henri Paul recommande chaleureusement la lecture.