Le concept d’homologie est sans aucun doute parmi les plus puissants en mathématiques. Mais comment l’expliquer à des non mathématiciens ? Un quotient des cycles par les bords ? Cela n’évoque rien au néophyte.

Jean-Pierre Serre a prononcé un discours à l’Académie des sciences sur les travaux de Henri Cartan, après le décès de celui-ci. Comment évoquer les « théorèmes A et B » de Cartan, qui garantissent l’annulation de certains groupes de cohomologie ? Voici de quelle manière Jean-Pierre Serre présenta les choses. Il expliqua que la cohomologie est la différence entre deux choses. La première est « Ce qu’on aimerait faire » et la seconde est « Ce qu’on peut faire ». Alors, si on montre que la cohomologie est nulle, eh bien, on est content : on peut faire tout ce qu’on veut.

Les cocycles, c’est ce qu’on veut faire : écrire que $dX=0$, c’est écrire l’équation de ce qu’on veut. Écrire que $X=dY$, c’est trouver le $Y$ qui répond à notre problème. Au delà du jeu de mots de J.P. Serre, il y a le fait que les groupes de cohomologie mesurent presque toujours une « obstruction » à la réalisation d’un problème topologique.