Une anecdote-exercice.

Elie Cartan présidait le jury de la thèse de de Rham. Il semble que ce qui a le plus intéressé Cartan dans cette thèse est l’énoncé suivant. Soient $C_1$ et $C_2$ deux cycles de dimensions $p_1,p_2$ complémentaires dans une variété compacte orientée de dimension $n$ (i.e. $p_1+p_2=n$). Soient $\omega_1$ et $\omega_1$ des formes fermées dont les classes de de Rham sont les Poincaré duales de $C_1$ et $C_2$. Alors, le nombre d’intersection de $C_1$ et $C_2$ est égal à l’intégrale du produit extérieur $\omega_1 \wedge \omega_2$ sur la variété. Selon vous, cet énoncé est-il correct ? Faut-il le corriger en introduisant des nombres universels $k_{p_1,p_2}$ tels que le nombre d’intersection de $C_1$ et $C_2$ est égal à $k_{p_1,p_2}$ fois l’intégrale du produit extérieur $\omega_1 \wedge \omega_2$ ? Si oui, quels sont ces nombres $k_{p_1,p_2}$ ?