On n’insistera jamais assez : la topologie algébrique et la topologie géométrique s’appuient sur des exemples, peut-être plus que d’autres parties des mathématiques. Poincaré ne s’y est pas trompé : ses textes regorgent d’exemples. On peut même dire que la plupart des concepts et théorèmes de Poincaré sont introduits après la discussion précise d’un exemple significatif.

Beaucoup de mathématiciens (comme Henri Poincaré, mais aussi comme Misha Gromov ou William Thurston) sont convaincus par le concept « d’exemple significatif ». Souvent, ils pensent que si un fait est vérifié sur un exemple significatif, c’est qu’il est vrai en général et qu’il n’est pas nécessaire de le démontrer. N’est-ce pas de cette manière que nous fonctionnons dans la vie de tous les jours ? N’est-ce pas la bonne manière de « faire des maths », de procéder par induction ? Chacun jugera. Tout le monde ne s’appelle pas Poincaré, Gromov ou Thurston, et même si Henri Paul recommande TRÈS chaleureusement de passer beaucoup de temps à comprendre ces exemples (dont beaucoup ne sont pas faciles), il ne peut pas recommander de se limiter aux exemples.