Comment Poincaré est-il parvenu à cet énoncé de dualité ? Cela est d’autant plus surprenant que l’un des premiers exemples qu’il donne, pour illustrer son théorème, est complètement faux. Faux mais... intéressant.

Il considère deux entiers naturels $k$ et $n$, puis le quotient $S_{k,n}$ de la puissance $k$-ème de la sphère ${\mathbb S}^n$ de dimension $n$ par le groupe permutant les $k$ coordonnées. Autrement dit, $S_{k,n}$ est l’espace des parties à $k$ éléments dans la sphère ${\mathbb S}^n$, avec multiplicité.

Voici quelques énoncés, plus ou moins implicites chez Poincaré. Lesquels sont vrais ? Lesquels sont faux ?

• Les seuls nombres de Betti non nuls de $S_{k,n}$ valent 1, en dimensions $0,n,2n, ..., kn$.

• $S_{k,n}$ est une variété de dimension $kn$.

Il faudra d’abord analyser le cas de $S_{k,2}$, qui est homéomorphe à l’espace projectif complexe de dimension complexe $k$ (pourquoi ?). Peut-être Poincaré s’est-il contenté de cet exemple et a pensé qu’il se généralisait sans problème ?

Le cas de $S_{k,1}$ est intéressant aussi.