Dualité ?

« Ce qui est double en soi », d’après le Littré.

La dualité projective est l’un des premiers exemples de dualité en mathématique. Gergonne et Poncelet ont pris conscience qu’à chaque théorème de géométrie du plan, mettant en jeu des points et des droites, correspondait un théorème « dual » dans lequel on remplace les points par les droites et réciproquement. Cette dualité s’est ensuite étendue aux courbes algébriques. Chaque courbe peut être définie par l’équation $P(x,y)=0$ qui relie ses points, ou par son « équation tangentielle » $Q(u,v)=0$ vérifiée par les droites $ux+vy=1$ qui lui sont tangentes. La courbe est « une » mais on peut l’observer de deux façons : à travers ses points ou ses tangentes. Un objet, deux points de vue.

Voici d’autres exemples célèbres :

• La dualité onde-particule.

• La dualité entre une fonction et sa transformée de Fourier. Mais ceci est mal exprimé : il y a un seul objet qu’on peut voir « en espace » ou « en fréquence ».

• Le dualisme cartésien corps/esprit n’a probablement pas grand-chose à voir avec la topologie algébrique. 😊

Quoi qu’il en soit, le message de Henri Paul est qu’il ne faut pas distinguer une classe d’homologie et la classe de cohomologie qui lui est duale. Il est préférable d’y penser comme un seul objet qui « est double en soi ».

Un peu comme cette œuvre de Markus Raetz qu’on trouve à Genève : c’est un OUI et c’est aussi un NON.