Une forme différentielle est un objet mystérieux. Dennis Sullivan a écrit un texte majeur de topologie algébrique, « Infinitesimal computations in Topology », qui va bien au delà du théorème de de Rham dans le sens où il montre que les formes différentielles permettent de calculer non seulement la cohomologie d’une variété mais tout son type d’homotopie (rationnel). Un jour, le jeune Henri Paul a demandé à Dennis Sullivan comment il comprenait les formes différentielles. La réponse fut pour le moins surprenante : « Je sais ce qu’est une forme de degré 1 et de degré maximal, je comprends à peu près le degré 2, mais dans les autres cas je n’y comprends pas grand-chose. Par exemple, je ne sais pas comment “comprendre” une 3-forme en dimension 5 ». Pas étonnant que toute la machinerie de l’algèbre différentielle extérieure ait mis tant de temps à se développer. Par exemple, un débutant ne doit absolument pas tenter de lire le calcul différentiel extérieur dans les œuvres de Elie Cartan. Les notations sont abominables et on n’y comprend absolument rien.