Cet exemple est une « pathologie » « inventée tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos pères ». Il n’est pas nécessaire en première lecture, mais c’est un exemple intéressant qu’il est bon de connaître. Il montre précisément pourquoi il faut imposer des conditions locales à un espace topologique pour que la théorie des revêtements et du groupe fondamental se développe sans problèmes. La topologie algébrique, telle qu’elle a été conçue par Poincaré, ne se préoccupe pas des pathologies. Cela ne veut pas dire que l’étude topologique des espaces localement compliqués ne soit pas intéressante. Poincaré est aussi l’un des initiateurs de la théorie du chaos, pleine d’objets tels que les ensembles de Cantor, ou les attracteurs étranges, comme le papillon de Lorenz. Ces espaces ne sont pas ceux auxquels on pense en priorité dans ce cours, mais ils méritent bien sûr qu’on les regarde (de près si possible car c’est de près qu’ils sont intéressants). Des outils algébriques existent cependant, tels que la cohomologie de Čech.

La topologie du plan est passionnante mais d’un esprit différent de celui de ce cours. Soit $X$ un espace topologique tel que tout plongement du cercle dans $X$ le coupe en deux composantes, dont une n’est pas relativement compacte. Peut-on conclure que $X$ est un plan ?

Un exercice, intéressant mais pas si facile : Soit $K_1,K_2$ deux ensembles de Cantor dans le plan (i.e. compacts sans points isolés). Montrer qu’il existe un homéomorphisme du plan qui envoie l’un sur l’autre. Qu’en pensez-vous pour les ensembles de Cantor dans l’espace ? Pour commencer, vous étudierez ce qui se passe pour deux ensembles de Cantor dans la droite. En cas de difficulté, voir ici.