Les trains électriques des enfants sont constitués de segments rectilignes et d’arcs de cercles. Ces réseaux ferroviaires sont lisses, de classe $C^1$. Cette régularité est insuffisante pour les vrais chemins de fer car une discontinuité dans la dérivée seconde implique un choc brutal pour les passagers. Il faut donc insérer entre les segments et les cercles des rails dont la courbure évolue continument entre $0$ et une constante. Ces arcs sont des clothoïdes, utilisés par la SNCF pour le confort de classe $C^2$ des passagers. On dit que les Suisses garantissent une régularité de classe $C^3$, mais ce n’est peut-être qu’une rumeur.

$$ $$

Pour finir, un exercice surprenant :

• Montrer que toute variété compacte a le même type d’homotopie qu’un ensemble fini.

Une suggestion ?

Henri Paul n’a jamais dit que la topologie sur l’ensemble fini est discrète !

Vous voulez plus de détails ? Alors lisez :

• McCord, Michael C. : Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces. Duke Math. J. 33 (1966), 465–474.