« Lenticulaire » ? La terminologie vient bien entendu des lentilles. Henri Paul se souvient que la première fois qu’il en avait entendu parler, il n’avait pas été très impressionné par ces « petites variétés ». Leur groupe fondamental est fini (et même cyclique), leur revêtement universel n’est « que » la sphère de dimension 3, etc. C’était une erreur de jugement. Ces variétés donnent les premiers exemples de variétés qui ont même type d’homotopie sans être homéomorphes. Ce fait n’est pas trivial (et n’est d’ailleurs pas démontré dans cet article). Peut-on expliciter, par des formules par exemple, une équivalence d’homotopie $f$ entre $L(7,1)$ et $L(7,2)$ ? Puisqu’un tel $f$ ne peut pas être un difféomorphisme, peut-on décrire le lieu où sa différentielle est singulière ? Pourquoi ne peut-il pas être « détruit » par déformation ? Voilà un mystère que Henri Paul aimerait bien percer.
Voici un autre thème de réflexion. Peut-on décrire explicitement une variété à bord $W(p,q)$ de dimension 4 dont le bord est $L(p,q)$ ? Comment $W(p,q)$ dépend-il de $p,q$ ? À ce sujet, on pourra explorer la littérature à partir de :