Variété dodécaédrique de Poincaré

Attention, joyau !

Visiblement, Poincaré a beaucoup cherché avant de trouver cet exemple. Dans un premier temps, il avait affirmé que ces variétés ne pouvaient pas exister. Et puis, enfin, dans le cinquième complément, il présente sa construction. Aucune indication n’est donnée sur la manière dont il a cherché — et trouvé — la « bonne » décomposition de Heegard. Probablement, par essais et erreurs, un peu au hasard ? Tout cela est un peu frustrant d’autant plus qu’on est surpris qu’il n’ait pas pensé à un lien avec le dodécaèdre régulier. Dans le premier mémoire, il pense au cube, à l’octaèdre, dont il identifie les faces par paires, mais il ne va pas jusqu’au dodécaèdre, dont il était pourtant évidemment familier. Même les grands peuvent passer à côté…

Les six présentations de cette variété sont magnifiques, mais il faut savoir que le chemin est long et que tout cela ne sera pas facile. Mais au bout du chemin, le plaisir de pouvoir admirer les six faces d’un même joyau.