Théorème de la boule chevelue en dimension 2

Voilà une « application » classique du groupe fondamental. Si on coiffe une boule, il est nécessaire qu’il y ait un épi, un point où le champ de vecteurs capillaires s’annule. L’oncle Henri Paul est intéressé par les applications des mathématiques. D’ailleurs Poincaré avait beaucoup d’applications en tête (en particulier concernant la mécanique (céleste)). Cela dit, Henri Paul s’insurge : pourquoi les mathématiciens devraient-ils « vendre » leurs théorèmes en les « maquillant » avec des applications qui n’en sont pas ? Un coiffeur a-t-il jamais tenté de coiffer une boule toute entière ? Et puis, les cheveux définissent-ils un champ de vecteurs continu sur la sphère ? Franchement, tout cela n’est pas sérieux. Mais le fait qu’un champ de vecteurs continu sur la sphère s’annule quelque part est tout à fait intéressant, pour des tas d’autres raisons non capillaires.