Ces exemples sont d’une richesse inépuisable. Ils sont importants en topologie, en dynamique, en théorie des nombres etc. Ils sont une source sans fin d’exemples et de contre-exemples. L’oncle Henri Paul recommande chaleureusement de faire comme il a fait lorsqu’il était étudiant et de passer de nombreuses heures à inspecter ces exemples dans tous leurs recoins. Après tout, ils sont élémentaires car ils sont construits à partir d’une matrice $2 \times 2$.
Voici une liste non exhaustive de thèmes de reflexion :
On raconte que Steve Smale avait conjecturé qu’un difféomorphisme générique d’une variété compacte n’a qu’un nombre fini de points périodiques. On raconte également que René Thom lui a montré l’exemple de la matrice $\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ et lui a fait remarquer que puisque les traces des puissances de cette matrice tendent vers l’infini exponentiellement (vérifiez-le), tout difféomorphisme homotope à cette matrice doit posséder une infinité de points périodiques, ruinant ainsi la conjecture de Smale. L’histoire ne dit pas ce que Smale en pensa. Peut-être aurait-il dû lire Poincaré ?
À vrai dire, Smale a avoué un jour à Henri Paul qu’il n’avait jamais lu quoi que ce soit de Poincaré car « it is written in French ». L’argument de Thom utilise le théorème des points fixes de Lefschetz, qui compte les points fixes, avec une multiplicité donnée par leurs indices. Pour compléter la preuve de Thom, il fallait savoir que si $x$ est un point fixe d’un difféomorphisme $F$, alors l’indice du point fixe $x$ de $F^n$ reste borné quand $n$ tend vers l’infini. Thom ne pouvait pas savoir que Shub et Sullivan ne le démontreraient qu’une quinzaine d’années plus tard (très joli article, très élémentaire et très instructif).