Revêtements

Henri Paul suggère de bien examiner la définition et de bien faire la différence entre un revêtement et une application « étale », c’est-à-dire une application $f : X \to Y$ qui est un homéomorphisme local : tout point de $X$ à un voisinage $U$ tel que la restriction de $f$ à $U$ est un homéomorphisme de $U$ sur $f(U)$. Lorsque $X$ et $Y$ sont compacts, les deux concepts coïncident (prouvez-le), mais si $X$ et $Y$ sont le plan ${\mathbb R}^2$ il est instructif de construire des contre-exemples. Ces applications étales interviennent dans de nombreux contextes et sont souvent sources d’erreur. Henri Paul n’ose pas faire la liste des théorèmes faux qu’il a démontré en confondant ces deux concepts.

Voici un revêtement infini cyclique (galoisien) :