Orientation et classe fondamentale

Avez-vous déjà observé que le mot « orienter » vient de « orient » : la direction du soleil levant ? Dans son sens premier, il s’agit donc d’une direction privilégiée, à partir de laquelle on mesure les autres directions.

Le sens mathématique de l’orientation d’un espace vectoriel, ou d’une variété, est beaucoup plus subtil et n’a été mis en évidence qu’assez tardivement. On cite en général Immanuel Kant en 1768, lors de sa leçon inaugurale, qui s’étonnait de son incapacité à distinguer ses mains droite et gauche, pourtant si différentes. Il affirmait que cette différence ne peut pas être expliquée par le langage et concerne donc la nature intime de l’espace.

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« La main droite est semblable et égale à la main gauche. Si l’on regarde l’une d’entre elles, pour elle-même, en examinant les proportions et la position de chacune de ses parties, ou en observant les dimensions de l’ensemble, on comprend qu’une description de cette main décrit tout autant l’autre. […] Il en résulte donc qu’une main ne peut se distinguer de l’autre.

Et pourtant, une main ne peut pas se superposer à l’autre.
[…]
Ces considérations montrent que la nature de l’espace n’est pas une conséquence des positions de ses parties, les unes par rapport aux autres.
[…]
La différence entre les mains est donc une vraie différence, qui est inhérente à la vraie constitution des objets : elle est relative à l’espace absolu. »

Un mathématicien dirait simplement que les deux mains sont isométriques mais qu’elles ne le sont pas positivement, mais aurait-t-il répondu pour autant à la question que posait Kant ?

Pour comprendre dans quels abîmes de perplexité un philosophe peut sombrer, Henri Paul recommande la lecture de

En lisant ce genre de textes, le mathématicien pensera probablement que le philosophe n’a pas non plus répondu à la question de Kant. Il faut replacer cette discussion dans le cadre de la grande dispute entre Newton et Leibniz. Ce dernier affirmait que l’espace se réduit aux objets matériels qu’il contient et aux relations entre ces objets. Newton quant à lui donnait à l’espace absolu un statut indépendant de la matière. Mais l’espace de Newton n’est pas pour autant « vide » : c’est le sensorium dei, le milieu grâce auquel Dieu perçoit et agit sur les corps, comme les planètes par exemple.

Mais Henri Paul s’éloigne des mathématiques ! Il recommande cependant la lecture de

  • Space from Zeno to Einstein, Classic Readings with a Contemporary Commentary, edited by Nick Huggett, Bradford book, the MIT Press (1999).

dans lequel la philosophie de Poincaré sur l’espace joue un rôle important.