Les CW-complexes

Henri Paul se souvient que lorsqu’il avait entendu parler pour la première fois de CW complexe, il avait demandé ce que signifient C et W. La plupart des mathématiciens ont perdu l’habitude de s’interroger sur la signification des mots qu’ils utilisent, en prenant l’affirmation de Hilbert au premier degré : « Nous devons pouvoir remplacer à tout moment les mots « points, droites, plans » par « tables, chaises, verre de bière ». C’est l’ idée que les mathématiques ne sont qu’un jeu sur des mots dont le sens n’importe pas. Ce n’est pas le point de vue présenté dans ce site. Cela dit, n’accablons pas Hilbert. Cette citation date de 1899 (dans son livre « Grundlagen der Geometrie » (Fondements de la géométrie) mais c’est le même Hilbert qui publiera en 1932 (avec Cohn-Vossen) son « Anschauliche Geometrie » (« La géométrie et l’imagination ») dont Henri Paul est un grand admirateur.

Revenons aux CW complexes.

Le mot « complexe » n’est pas trop étonnant : Subst. masc. Ensemble d’éléments divers, le plus souvent abstraits, qui, par suite de leur interdépendance, constituent un tout plus ou moins cohérent.

Pour « C » et « W », il faut revenir à l’article de J.H.C. Whitehead datant de 1949 et proposant la définition.

Il s’agit de « Closure finite with Weak topology », comme expliqué dans cet article. Pourquoi ces conditions bizarres ?

Montrer que les propriétés suivantes sont réalisées :

  • Toute partie compacte d’un CW-complex est contenue dans la réunion d’un nombre fini de cellules.
  • Si on recolle une cellule sur un CW-complexe, le type d’homotopie de l’espace obtenu ne dépend que de la classe d’homotopie de l’application d’attachement.
  • L’espace des applications continues entre deux CW-complexes, avec la topologie compacte ouverte, a le type d’homotopie d’un CW-complexe.
  • Théorème de Whitehead : Une application continue entre deux CW-complexes est une équivalence d’homotopie si et seulement si elle induit un isomorphisme entre les groupes d’homotopie.
  • Montrez que les boucles hawaïennes n’ont pas le même type d’homotopie qu’un CW-complexe.

J.H.C. Whitehead (1904-1960) n’était pas seulement l’un des fondateurs de la théorie de l’homotopie : il avait un hobby assez rare parmi les mathématiciens. Il aimait élever des porcs :

Pour une biographie (strictement mathématique, ne signalant pas les porcs), voir cet article de M.H.A. Newman de 1964, cité dans notre liste de Textes d’histoire des mathématiques.