Le tore de dimension 3

Cet exemple est tout à la fois facile et fondamental et il ne faut surtout pas le négliger.

Voici quelques thèmes de réflexion sur ce sujet.

Le tore de dimension 3 n’est pas seulement une variété, c’est aussi un groupe topologique. Pouvez-vous énumérer toutes les variétés compactes de dimension 3 qui sont des groupes topologiques ? En dimension 4 ? En dimension supérieure ?

Tous les revêtements finis du tore sont homéomorphes entre eux. Est-ce que cette propriété le caractérise ?

Le tore de dimension 3 se plonge dans $\mathbb R ^4$, bien sûr. Si on munit le tore de la métrique euclidienne plate, peut-on le plonger isométriquement ? Même question dans $\mathbb R ^5$.

Soit $x$ une classe d’homologie primitive dans $H_2(T^3,{\mathbb Z})$ (c’est-à-dire qui n’est pas multiple entier d’une autre classe). Existe-t-il un plongement $i: T^2 \to T^3$ qui la représente, i.e. tel que $i[T^2]=x$ ? Même question dans $T^4$.

Existe-t-il une variété fermée de dimension 3 dont le groupe fondamental soit isomorphe à $\mathbb Z^k$ pour $k\neq 0,1,3$ ?