Le produit cap et la dualité de Poincaré

La dualité d’Alexander affirme que l’homologie du complémentaire d’un compact (raisonnable) plongé dans une sphère ne dépend pas de la manière dont il est plongé. Par exemple si on plonge un cercle dans la sphère de dimension 2, le complémentaire a deux composantes connexes, chacune ayant l’homologie d’un disque. Mais à vrai dire dans ce cas particulier, un théorème beaucoup plus fort est valable : le théorème de Schönfliess affirme qu’à homéomorphisme global de la sphère près, on ne peut plonger le cercle que d’une seule manière, i.e. comme un équateur.

Bien évidemment, on s’est vite demandé si un résultat analogue est vrai pour les plongements de la sphère de dimension 2 dans la sphère de dimension 3. C’est Alexander qui a construit un magnifique contre-exemple : le complémentaire n’est pas simplement connexe (même si, bien sûr le premier groupe d’homologie est nul).

C’est la sphère cornue d’Alexander.

La voici :

Pour plus de détails visuels, on peut visionner cette jolie vidéo.

En 1924, Alexander démontrait qu’à difféomorphisme près il n’y a qu’un seul plongement différentiable de la sphère de dimension 2 dans la sphère de dimension 3.

Henri Paul recommande à l’étudiant de lire cette page du blog de Danny Calegary. Surtout, il ne faut pas hésiter à lire les autres pages de ce blog !