La variété hypercubique

Cet exemple est à peine plus compliqué que celui du tore de dimension 3 mais beaucoup plus riche. Un peu comme la bouteille de Klein, (un peu) plus compliquée que le tore de dimension 2. Un débutant doit absolument l’étudier en détail.

Le groupe fondamental de cette variété agit par isométries sur $\mathbb R^3$ et le cube unité est un domaine fondamental. C’est donc l’un des 230 groupes cristallographiques de dimension 3. Lequel ? Parmi ces 230 groupes, combien mènent à des variétés de dimension 3 ? Pouvez-vous en faire la liste ? Henri Paul recommande le livre de Montesinos : Classical Tessellations and Three-Manifolds (1987).