Rétrospectivement, on peut s’étonner qu’on ait mis tant de temps à comprendre le rôle central de la géométrie hyperbolique dans la topologie de dimension 3. Poincaré n’a pas seulement inventé la topologie algébrique ; il a aussi montré l’importance de la géométrie hyperbolique en dimensions 2 et 3. Mais de manière surprenante, il n’utilise jamais la géométrie hyperbolique pour des questions topologiques de dimension 3. Comme c’est bizarre !

En 1938, dans un article consacré au comportement des géodésiques sur les surfaces hyperboliques, Hedlund consacre un paragraphe à la dimension 3, tout en expliquant qu’on ne connaît des exemples que depuis peu (il ne cite pas Seifert et Weber, mais Loebell, qui avait construit en 1931 un exemple possédant moins de symétries) : « In contrast to the two-dimensional case, little seems to be known about the possible topological types of such manifolds ». Ainsi, en 1938, les variétés hyperboliques semblaient exceptionnelles.

C’est William Thurston qui a pris conscience que, même si les variétés de dimension 3 ne sont pas toutes hyperboliques, elles le sont « presque toutes ». C’est lui qui a montré qu’on pouvait/devait utiliser la géométrie pour comprendre la topologie.

En 1978, des copies des « notes de Thurston » ont commencé à circuler en France. Henri Paul se souvient de l’impression qu’il a ressentie au premier coup d’œil. La rédaction n’avait absolument rien à voir avec les textes un peu rigides auxquels il était habitué, « à la Bourbaki ». Les figures par exemple avaient droit de cité et envahissaient même le texte.

Dans le premier chapitre de ces notes, on montre que le complémentaire du nœud de huit possède une structure hyperbolique, obtenue en recollant deux tétraèdres idéaux. Aujourd’hui, tout cela nous semble « facile ». Et pourtant, à l’époque, des groupes de travail, dans plusieurs universités, peinaient à essayer de comprendre ce type de construction. La géométrie prenait peu à peu du pouvoir sur la topologie. Quelques années plus tard, ce sera l’analyse qui prendra toute sa place.

Henri Paul conserve précieusement les photocopies des notes de Thurston, datant de 1978 :-) La transformation en LateX brise le charme.