La sphère de Brieskorn $\Sigma (2,3,5)$ est la sphère d’homologie de Poincaré

En géométrie algébrique, les objets considérés sont souvent des quotients. Typiquement, on dispose d’une représentation linéaire d’un groupe $G$ agissant sur ${\mathbb C}^N$ et on aimerait considérer le quotient de ${\mathbb C}^N$ par $G$. Hélas, ce n’est pas si simple car il arrive souvent que l’action ne soit pas libre. Alors, on pense « dualement », c’est-à-dire qu’on considère l’algèbre des polynômes sur ${\mathbb C}^N$ qui sont $G$-invariants. Sous des conditions très générales, cette algèbre est engendrée par un nombre fini de polynômes, $P_1,…, P_k$, et on pense alors au quotient cherché comme l’image de l’application $(P_1,…,P_k): {\mathbb C}^N \to {\mathbb C}^k$. Cette image est souvent singulière et le travail du géomètre est alors de la « désingulariser ».

Tout cela est expliqué par l’un des acteurs principaux de la théorie, E. Brieskorn, dans cette interview, chapitres 5, 6, 7, 8 et 12 (qui seront peut-être difficiles pour un débutant).

Les premiers exemples non triviaux ont été étudiés par F. Klein à la fin du dix-neuvième siècle : les sous-groupes finis de $GL(2,{\mathbb C})$ agissant sur ${\mathbb C}^2$. Son livre « Lectures on the icosahedron and the solution of equations of the fifth degree » est une merveille. Henri Paul se souvient avoir bataillé avec la version allemande alors qu’il ignorait l’existence d’une traduction anglaise, qu’il aurait pu lire plus facilement. Cela dit, lire un livre de mathématiques dans une langue qu’on ne connaît que superficiellement a aussi ses avantages, surtout si le livre contient de belles images.

Brieskorn explique sa fascination pour ce livre, dont il possède une édition originale, mais aussi une version plus moderne qui lui a été dédicacée par l’éditeur. Il est fier de cette dédicace : « To one who truly honors the icosahedron » !