La topologie algébrique penche tantôt du côté algébrique et tantôt du côté topologique. Les preuves sont tantôt formelles et tantôt se résument à des dessins, plus ou moins convaincants.

Henri Paul recommande la lecture d’un court article de Dennis Sullivan [1] à la fois pour son contenu et pour sa forme. Mais avant de le lire, il recommande d’essayer de démontrer seul(e) le théorème, à titre d’exercice.

Soit $M$ une variété fermée orientée de dimension 3. Alors, $H=H^1(M,{\mathbb Z})$ est un groupe abélien de type fini muni d’une forme trilinéaire alternée $\mu$ : le produit cup à valeurs dans $H^3(M,{\mathbb Z})\simeq {\mathbb Z}$, ou, par dualité, l’intersection des cycles. Le théorème de Sullivan comporte trois parties :

• Tout groupe abélien $H$ de type fini, muni d’une forme trilinéaire alternée, provient d’une certaine variété de dimension 3.

La figure suivante pourrait peut-être aider ?

• Soit $P(x,y,z)=0$ l’équation d’une surface complexe dans ${\mathbb C}^3$ présentant une singularité isolée en $(0,0)$. Soit $M$ le bord de cette singularité, c’est-à-dire l’intersection de la surface avec une petite sphère $\vert x \vert^2+\vert y \vert^2+\vert z \vert^2 = \epsilon$. Alors, la forme trilinéaire d’intersection $\mu$ sur $H^1(M,{\mathbb Z})$ est nulle.

Le troisième énoncé est pour le moins obscur, et la première difficulté consiste à le comprendre.

• « If $\pi$ is the fundamental group of $M$, then $\pi$, made abelian (mod torsion) is isomorphic to the dual space of $H$ and the commutator construction $(a,b) \to [a,b]= aba^{-1}b^{-1}$ defines a skew symmetric mapping

  $$ \pi / [\pi,\pi] \otimes \pi/[\pi, \pi] \xrightarrow{[,]} [pi,\pi] / [\pi, [\pi,\pi]]. $$

If we dualize this $[,]$ pairing we find that the degeneracy of $\mu$ or dually the relations among commutators namely an exact sequence (mod torsion)

$$ 0 \to ([\pi,\pi]/ [\pi,[\pi,\pi]])^{\star} \xrightarrow{[,]^{\star}}\Lambda^2 \xrightarrow{\mu} H^{\star}. $$

For example, if $\mu=0$, $\pi_1(M)$ looks like a free group on $\beta= dim H$ generators (mod torsion and triple commutators). In general there are at most $\beta$ relations (defined by $\mu$) among the $\frac{1}{2}\beta(\beta-1)$ commutators. »

Mais c’est surtout la « preuve » proposée par l’auteur qui est digne d’une anthologie mathématique. La voici, dans tous ses « détails » :

« The proof is a certain amount of soul searching classical algebraic topology. »

Comme quoi les preuves bidon, publiées dans des journaux prestigieux, ne sont pas l’apanage de Poincaré 😇.

Voici le coupable en 1968 :