Groupe fondamental et classe d’Euler des fibrés en cercles

Article très important, qui dépasse le cadre strict de la topologie de dimension 3. Sa compréhension nécessite un effort, mais le résultat vaut la peine !

Il faut savoir que ce qu’on appelle ici « classe d’Euler » se retrouve sous une forme à peine différente sous le nom de « première classe de Chern ». Il faut savoir aussi qu’on peut travailler de la même manière avec un fibré en cercles au dessus d’une base $B$ quelconque. La classe d’Euler sera alors une classe de $H^2(B,{\mathbb Z})$.

Plus généralement, si on considère un fibré de base $B$ dont le groupe structural est contenu dans un groupe topologique connexe $G$, la classe d’Euler est un élément du deuxième groupe de cohomologie $H^2(B,{\pi_1(G)})$.

Il s’agit du premier exemple, le plus simple, et le plus instructif, de ce qu’on appelle la « théorie de l’obstruction ». On dispose d’un fibré $p: E \to B$, de fibre $F$, au dessus d’une base $B$ et on en cherche une section $s: B \to E$, i.e. telle que $p\circ s =id$. On commence par une section au dessus du $0$-squelette, ce qui ne pose aucun problème. On cherche ensuite à la prolonger au $1$-squelette, puis du $1$-squelette au $2$-squelette etc. À chaque passage d’un squelette au suivant, on mesure « l’obstruction » au prolongement par une classe de cohomologie de degré $k$ à coefficients dans un groupe d’homotopie de $F$. Si cette classe est non nulle, c’est perdu, la section ne se prolonge pas, ce qui ne veut pas dire qu’en revenant en arrière, en changeant la section précédente, on ne pourrait pas continuer… En revanche si la classe est nulle, on peut prolonger au squelette suivant (sans garantir qu’il ne faudra pas rebrousser chemin plus tard etc.)

Dennis Sullivan a coutume de comparer ces classes d’obstruction à une lampe de mineur : « Une lampe de mineur, dans une galerie sombre, ça n’éclaire pas loin, peut-être un mètre devant soi, ça n’empêche pas de prendre le mauvais chemin, et finalement ce n’est pas très utile. Oui, mais essayez-donc sans lampe ! » 😉