Toute variété fermée de dimension 3 possède une décomposition de Heegaard : elle est obtenue en recollant deux corps à anses. Le théorème de Van Kampen permet alors d’écrire une présentation du groupe fondamental. On a pensé un moment que cela permettrait de résoudre la conjecture de Poincaré, en déterminant à quelles conditions le groupe est trivial. En 1965, Stallings écrivait un article resté célèbre :

« How not to prove the Poincaré conjecture »

qui contenait le commentaire suivant « I have committed the sin of falsely proving Poincaré’s Conjecture. But that was in another country ; and besides, until now, no one has known about it.  »

On ne compte plus le nombre d’erreurs engendrées par la conjecture de Poincaré.