Définition de l’homologie à la Poincaré

Cet article n’est pas nécessaire à la compréhension des théories modernes de l’homologie. En revanche, il sera utile aux lecteurs qui cherchent à comprendre comment on a pu passer de la présentation par Poincaré de l’homologie aux versions contemporaines. Voilà donc un exemple typique de la « méthode Saint Gervais » : expliquer le présent grâce au passé, en ne craignant pas les anachronismes. Henri Paul sait parfaitement que cela ne contribue pas à l’histoire du sujet, mais il pense que certains étudiants y trouveront de l’inspiration.

La terminologie « homologie » a remporté un très grand succès. Le choix de ce mot est pourtant étonnant puisqu’il avait déjà un sens bien établi en 1895. En géométrie projective « classique », une homologie est une transformation projective qui est une involution et fixe un hyperplan. Il est vrai que les homologies projectives ne sont plus très importantes aujourd’hui, mais à l’époque de Poincaré tous les lycéens connaissaient le mot.

Dans son article historique Henri Poincaré and XXth Century Topology (paru dans Proceedings of the Symposium Henri Poincaré (Brussels, 8-9 October 2004)), S. Novikov explique le choix du mot « homologie » par le fait que Betti était chimiste.


According to my information, Betti was a Chemist. It explains such terminology as Homology.

La biographie de Betti ne semble pourtant pas indiquer de lien avec la chimie. Il est vrai que ce mot est employé depuis longtemps par les chimistes (en chimie, un « homologue » est un composé qui appartient à une série de composés qui ne diffèrent des autres que par le nombre de répétitions d’une unité, comme un pont méthylène −CH2−, un résidu peptidique, etc.). En passant, l’oncle Henri Paul doit dire qu’il est en désaccord avec beaucoup d’aspects de la présentation historique de S. Novikov. Par exemple, il est affirmé que l’homologie telle que la définit Poincaré est le bordisme. Ceci n’est pas exact, comme nous l’expliquons dans cet article.