Cohomologie

Les débutants ont souvent des difficultés avec la cohomologie. Il ne faut pas s’en étonner car dans les premières années de l’université, les concepts de dualité en algèbre linéaire ne sont pas faciles à assimiler.

On imagine bien ce qu’est un vecteur. On y pense comme une flèche. On a plus de difficultés avec une forme linéaire. V. Arnold avait coutume de dessiner au tableau une forme linéaire comme une série de petits segments parallèles, suggérant les hyperplans où la forme prend une valeur constante. Mais il n’empêche que les formes linéaires sont moins intuitives que les vecteurs.

On dit souvent aux débutants qu’il faut penser homologiquement et démontrer cohomologiquement. L’un des principaux avantages de la cohomologie est qu’il s’agit d’une algèbre, contrairement à l’homologie. Multiplier, c’est utile.

La cohomologie, c’est pas facile !

Il faut aussi dire franchement qu’on manipule le plus souvent des classes de cohomologie de degrés 1 et 2. En degré 1, c’est en général parce qu’on est en train de déformer quelque chose, et en degré 2 parce qu’on tente de construire une extension de quelque chose. Cela ne veut pas dire que la cohomologie n’intervient que dans ces degrés. Par exemple les « classes de Chern » sont en degré $2k$, mais Henri Paul n’a jamais rencontré un mathématicien qui pouvait lui expliquer la vraie nature de ces classes. Même J. Milnor, dont les livres sont pourtant limpides, lorsqu’il écrit sur les « Characteristic Classes », fait le choix d’une présentation axiomatique et ne définit ces classes que dans un second temps, une fois qu’on a compris qu’elles sont utiles, même si leurs définitions sont compliquées.

Deux bizarreries terminologiques :

  • Dans son livre de 1963 Modern algebraic topology [1], Bourgin propose de retirer le h initial pour créer un mot qui signifie à la fois « cohomologie » et « homologie ».


« In the interest of succinctness and easy interpretation, we reluctantly abandon the Hellenic roots and offer the Cockneyish « omology » to denote either homology or cohomology. »

  • Dans leur livre de 1960 Homology [2], Hilton et Wylie adoptent des conventions que personne n’a suivi par la suite. Pour des raisons obscures, ils préfèrent « contra » à « co » et parlent donc de contrahomologie. Par ailleurs, ils emploient une notation « polonaise », c’est-à-dire qu’ils notent $xf$ l’image de $x$ par $f$...