Classification des revêtements et revêtements galoisiens

Attention ! Cette partie est plus difficile qu’il n’y paraît. Il faut bien sûr lire cela en ayant derrière la tête la théorie de Galois et le description des extensions de corps en termes des sous-groupes du groupe de Galois. Le sujet est un peu « piégeux » en particulier à cause des revêtements non galoisiens, qui ont induit Henri Paul de nombreuses fois en erreur. Par exemple, considérez une surface compacte de genre 2, et une courbe fermée immergée très compliquée. Le groupe fondamental de cette courbe définit un sous-groupe infini cyclique du groupe fondamental de la surface, et donc un revêtement de cette surface. Essayez-donc de vous imaginer ce revêtement. Quel est son groupe d’automorphismes ? Comme Henri Paul s’est trompé très souvent avec les revêtements non galoisiens, il préfère ne pas les utiliser du tout. Il serait même favorable à changer la définition des revêtements pour les exclure, mais il a bien conscience qu’il ne serait pas suivi par les collègues. En premier lieu par Henri Paul lui-même (il est un peu schizophrène 😜). Mais quand même : attention, terrain glissant !