Bordisme

Henri Paul était encore doctorant lorsqu’il a rencontré lors d’un colloque un autre doctorant, dont il a oublié le nom mais pas le visage, et lui a avoué qu’il ne comprenait pas grand-chose à l’homologie. Alors l’inconnu lui a expliqué le bordisme en buvant quelques bières. Il ne lui a pas expliqué que le bordisme ne correspondait pas tout à fait avec l’homologie, probablement parce qu’il l’ignorait.

Parmi les conférenciers du colloque, il y avait René Thom qui faisait des exposés sur la tectonique des plaques. Tout cela devait passer bien au dessus de la tête des géologues et des matheux qui participaient au colloque mais Henri Paul se souvient d’une application de la cohomologie à la géologie, expliquée par Thom dans sa conférence, le lendemain du jour de l’explication du bordisme. Supposons que la Terre soit constituée de plaques $P_i$ qui flottent, comme expliqué par la tectonique des plaques. Alors, que signifient longitudes et latitudes si nous sommes tous sur des radeaux qui dérivent les uns par rapport aux autres ? Problème cohomologique très simple ! Prenez deux plaques $P_i$ et $P_j$ qui sont en contact le long d’une ligne. Soit $\omega_{i,j}$ la vitesse infinitésimale de rotation de $P_i$ par rapport à $P_j$, vue comme un vecteur dans l’espace. Alors, Thom explique qu’en chaque point triple, la somme des trois $\omega_{i,j}$ est nulle, que cela définit donc un $1$-cocycle sur la sphère $\mathbb S^2$, qui est donc un cobord. Mais, trouver une primitive pour $\omega_{i,j}$ revient à trouver un repère fixe par rapport auquel on peut décrire le mouvement de chaque plaque, un référentiel absolu qu’on utilisera donc pour mesurer latitudes et longitudes.

Henri Paul était admiratif, même s’il avait bien conscience que ces idées ne serviraient jamais en géologie... Mais ce qu’il ne savait pas, c’est qu’il aurait dû demander à René Thom de lui expliquer en quoi le bordisme et l’homologie diffèrent, puisque c’était lui qui avait fondé la théorie du cobordisme. Quelle occasion manquée !

Il faut profiter des colloques !